设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)。 是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. 验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

admin2016-01-11  34

问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=一2,且α1=(1,一1,1)。
是A的属于λ1的一个特征向量.记B=A5一4A3+E,其中E为3阶单位矩阵.
验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量;

选项

答案由Aα11α1知Bα1=(A5一4A3+E)α1=(λ15一4λ13+1)α1=一2α1,故α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量. 类似,矩阵B的其他两个特征值为λi5一4λi3+1(i=2,3). 所以B的全部特征值为一2,1,1. 因为A是实对称矩阵,故B也是实对称的.若设(x1,x2,x3)T为B的属于特征值1的特征向量,则必有(x1,x2,x31=0,即(x1,x2,x3)T与α1正交.所以有x1—x2+x3=0,解此方程得其基础解系为α2=(1,1,0)T,α3=(一1,0,1)T. 故矩阵B的属于特征值一2的全部特征向量为k1α1(k1,为不等于零的任意常数); 属于特征值1的全部特征向量为k2α2+k3α3(k2,k3是不全为零的任意常数).

解析 若λ是n阶矩阵A的特征值f(x)是x的m次多项式,则f(λ)是f(a)的特征值,且矩阵A的属于λ的特征向量α,也是f(a)的属于f(λ)的特征向量.这是矩阵的重要性质.所以第(1)问就是以具体的矩阵来验证上述结论.第(2)问则是常见的由矩阵B的特征值、特征向量求出B.
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