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  3. 设矩阵A=B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设矩阵A=B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

admin2017-01-21  31
问题 设矩阵A=B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。
选项
答案设A的特征值为λ，对应特征向量为η，则有Aη=λη。由于|A|=7≠0，所以λ≠0。 又因A*A=|A|E，故有A*η=[*] 于是有 B（P—1η）=P—1A+P（P—1η）=[*]（P—1η）， （B+ 2E）P—1η=[*]P—1η。 因此，[*]+2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P—1η。 由于 |λE—A|=[*]=（λ一1）2（λ一7）， 故A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7。 当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 η1=[*] 当λ3=7时，对应的一个特征向量可取为 η3=[*] 由P-1=[*] 因此，B+2E的三个特征值分别为9，9，3。 对应于特征值9的全部特征向量为 k1P—1，η1+k2P—1η2=[*] 其中k1，k2是不全为零的任意常数； 对应于特征值3的全部特征向量为k3P—1η3=[*]其中k3是不为零的任意常数。
解析
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考研数学三

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