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设矩阵A=B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
设矩阵A=B=P—1A*P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A*为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
admin
2017-01-21
63
问题
设矩阵A=
B=P
—1
A
*
P,求B+2E的特征值与特征向量,其中A
*
为A的伴随矩阵,E为三阶单位矩阵。
选项
答案
设A的特征值为λ,对应特征向量为η,则有Aη=λη。由于|A|=7≠0,所以λ≠0。 又因A
*
A=|A|E,故有A
*
η=[*] 于是有 B(P
—1
η)=P
—1
A+P(P
—1
η)=[*](P
—1
η), (B+ 2E)P
—1
η=[*]P
—1
η。 因此,[*]+2为B+2E的特征值,对应的特征向量为P
—1
η。 由于 |λE—A|=[*]=(λ一1)
2
(λ一7), 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=7。 当λ
1
=λ
2
=1时,对应的线性无关的两个特征向量可取为 η
1
=[*] 当λ
3
=7时,对应的一个特征向量可取为 η
3
=[*] 由P
-1
=[*] 因此,B+2E的三个特征值分别为9,9,3。 对应于特征值9的全部特征向量为 k
1
P
—1
,η
1
+k
2
P
—1
η
2
=[*] 其中k
1
,k
2
是不全为零的任意常数; 对应于特征值3的全部特征向量为k
3
P
—1
η
3
=[*]其中k
3
是不为零的任意常数。
解析
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考研数学三
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