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设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总y∈[a,b],使得|f(y)|≤|f(x)|.试证:ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
设f(x)在[a,b]连续,且x∈[a,b],总y∈[a,b],使得|f(y)|≤|f(x)|.试证:ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
admin
2021-11-09
33
问题
设f(x)在[a,b]连续,且
x∈[a,b],总
y∈[a,b],使得|f(y)|≤
|f(x)|.试证:
ξ∈[a,b],使得f(ξ)=0.
选项
答案
反证法.若在[a,b]上f(x)处处不为零,则f(x)在[a,b]上或恒正或恒负.不失一般性,设f(x)>0,x∈[a,b],则[*].由题设,对此x
0
,[*]y∈[a,b],使得 f(y)=|f(y)|≤[*]<f(x
0
), 与f(x
0
)是最小值矛盾.因此,[*]ξ∈[a,b],使f(ξ)=0.
解析
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考研数学二
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