设f(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)<1,证明:2χ-∫0χf(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.

admin2019-08-23  31

问题 设f(χ)在[0,1]上连续,且f(χ)<1,证明:2χ-∫0χf(t)dt=1在(0,1)有且仅有一个根.

选项

答案令φ(χ)=2χ-∫0χf(t)dt-1,φ(0)=-1,φ(1)=1-∫01f(t)dt, 因为f(χ)<1,所以∫01f(t)dt<1,从而φ(0)φ(1)<0, 由零点定理,存在c∈(0,1),使得φ(c)=0. 因为φ′(χ)=2-f(χ)>0,所以φ(χ)在[0,1]上单调增加,故方程2χ-∫0χf(t)dt=1有且仅有一个根.

解析
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