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  3. 设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

admin2018-11-21  56
问题 设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．
选项
答案令tx=s，原方程改写成 [*]∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．([*]x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf’(x)+f(x)+(x2sinx)， 即 f’(x)=一[*]． ② (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 f(x)=一[*]=—xsinx+cosx+C．
解析
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考研数学一

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