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设f(x)连续,且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx,求f(x).
设f(x)连续,且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx,求f(x).
admin
2018-11-21
64
问题
设f(x)连续,且满足∫
0
1
f(tx)dt=f(x)+xsinx,求f(x).
选项
答案
令tx=s,原方程改写成 [*]∫
0
x
f(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0),即∫
0
x
f(s)ds=xf(x)+x
2
sinx.([*]x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf’(x)+f(x)+(x
2
sinx), 即 f’(x)=一[*]. ② (x=0时两端自然成立,不必另加条件.) 再将②式两边直接积分得 f(x)=一[*]=—xsinx+cosx+C.
解析
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0
考研数学一
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