设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

admin2018-11-21 57

问题设f(x)连续，且满足∫₀¹f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．

选项

答案令tx=s，原方程改写成 [*]∫₀^xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫₀^xf(s)ds=xf(x)+x²sinx．([*]x) ① 将①式两边对x求导可得 f(x)=xf’(x)+f(x)+(x²sinx)，即 f’(x)=一[*]． ② (x=0时两端自然成立，不必另加条件．) 再将②式两边直接积分得 f(x)=一[*]=—xsinx+cosx+C．

解析

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