(2010年)设A为4阶实对称矩阵，且A2＋A＝O．若A的秩为3，则A相似于【】

admin2016-05-30 42

问题 (2010年)设A为4阶实对称矩阵，且A²＋A＝O．若A的秩为3，则A相似于【】

选项 A、

B、

C、

D、

答案D

解析设A为A的特征值且ξ为对应的特征向量，则有A^mξ＝λ^mξ(m＝1，2，…)，故有
(A²＋A)ξ＝Oξ＝0，
即(λ²＋λ)ξ＝0，
因ξ≠0，得λ²＋λ＝0，从而有λ＝0或λ＝－1，又因r(A)＝3，所以A的非零特征值有3个，有1个特征值为0，即A的全部特征值为：－1，－1，－1，0，所以只有选项D正确．

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