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考研
设0<a<b,证明不等式
设0<a<b,证明不等式
admin
2019-03-21
46
问题
设0<a<b,证明不等式
选项
答案
先证右边不等式,即[*], 设[*], 因为[*], 故当x>a时,ψ(x)单调减少,又ψ(a)=0,所以,当x>a时,ψ(x)<ψ(a)=0,即 [*], 从而当b>a>0时,有 [*], 再证左边不等式,即[*]。 方法一 设函数f(x)=lnx(x>a>0),由拉格朗日中值定理知至少存在一点ξ∈ (a,b),使 [*], 由于0<a<ξ<b,故 [*], 从而[*]。 方法二 设f(x)=(x
2
+a
2
)(lnx—Ina)-2a(x-a) (x>a>0), 因为[*], 故当x>a时,f(x)单调增加,又f(a)=0,所以当x>a时, f(x)>f(a)=0,即(x
2
+a
2
)(lnx—lna)-2a(x-a)>0. 从而当b>a>>时,有(a
2
+b
2
)(lnb—lna)-2a(b-a)>0,即[*]。
解析
[分析] 将原不等式变形,作辅助函数,再用函数不等式的证明方法证明变形的不等式.
[评注] 不等式的证明是考研的重点之一,不等式证明的主要方法有:微分中值定理、单调性、极值与最值及凹凸性和泰勒公式.
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考研数学二
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