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已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第3列为 求矩阵A;
已知二次型f(x1,x2,x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22,且Q的第3列为 求矩阵A;
admin
2018-07-27
93
问题
已知二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax在正交变换x=Qy下的标准形为y
1
2
+y
2
2
,且Q的第3列为
求矩阵A;
选项
答案
由条件知,A的特征值为1,1,0,且ξ=(1,0,1)
T
为A的属于特征值0的一个特征向量.设A的属于特征值1的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则ξ⊥x,得x
1
+x
3
=0,取A的属于特征值1的两个正交的单位特征向量为[*](1,0,-1)
T
、(0,1,0)
T
.得正交矩阵 [*] 则有Q
T
AQ=diag(1,1,0), 故A=Qdiag(1,1,0)Q
T
[*]
解析
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考研数学三
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