设n维列向量α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有( )．

admin2019-08-21 40

问题设n维列向量α₁，α₂，α₃线性无关，向量β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，向量β₂不可由α₁，α₂，α₃线性表示，则对任意常数k，必有( )．

选项 A、α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关
B、α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性相关
C、α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性无关
D、α₁，α₂，α₃，β₁+kβ₂线性相关

答案A

解析对于抽象的向量组，可以用定义法，也可以用排除法．
解：设有一组数字λ₁，λ₂，λ₃，λ₄，满足λ₁+λ₂+λ₃+λ₄(kβ₁+β₂)=0，
若λ₄=0，则有条件λ₁=λ₂=λ₃=0，从而推出α₁，α₂，α₃，kβ₁+β₂线性无关．
若λ₄≠0，则kβ₁+β₂可由α₁，α₂，α₃线性表示，而β₁可由α₁，α₂，α₃线性表示，故β₂也可由α₁，α₂，α₃线性表示，矛盾，所以，λ₄=0，从而（A）正确．对于其余三个选项，也可用排除法．当k=0时，可排除（B）、（C）项；当k=1时，可排除(D)项．
故应选(A)．

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考研数学二

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