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设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有( ).
设n维列向量α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,向量β2不可由α1,α2,α3线性表示,则对任意常数k,必有( ).
admin
2019-08-21
100
问题
设n维列向量α
1
,α
2
,α
3
线性无关,向量β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,向量β
2
不可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则对任意常数k,必有( ).
选项
A、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关
B、α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性相关
C、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性无关
D、α
1
,α
2
,α
3
,β
1
+kβ
2
线性相关
答案
A
解析
对于抽象的向量组,可以用定义法,也可以用排除法.
解:设有一组数字λ
1
,λ
2
,λ
3
,λ
4
,满足λ
1
+λ
2
+λ
3
+λ
4
(kβ
1
+β
2
)=0,
若λ
4
=0,则有条件λ
1
=λ
2
=λ
3
=0,从而推出α
1
,α
2
,α
3
,kβ
1
+β
2
线性无关.
若λ
4
≠0,则kβ
1
+β
2
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故β
2
也可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,矛盾,所以,λ
4
=0,从而(A)正确.对于其余三个选项,也可用排除法.当k=0时,可排除(B)、(C)项;当k=1时,可排除(D)项.
故应选(A).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MKN4777K
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考研数学二
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