求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈时成立．

admin2018-05-23 18

问题求证f(x)=πx(1一x)cosπx一(1—2x)sinπx＞0当x∈

时成立．

选项

答案注意f(x)在[*]上连续，且f(0)=[*]=0．先求 f’(x) =-π²x(1一x)sinπx+π(1—2x)cosπx一π(1—2x)cosπx+2sinπx =[2—π²x(1一x)]sinπx[*]g(x)sinπx，其中g(x)=2一π²x(1一x)．显然，f’(x)的正负号取决于g(x)的正负号，用单调性方法判断g(x)的符号．由于g’(x)=一π²(1—2x)＜0[*] 故g(x)在[*]从而存在唯一的x₀∈[*] 使g(x₀)=0．又由 [*]

解析

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