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设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2),求f(u).
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(ex2-y2)满足方程=4(x2+y2),求f(u).
admin
2019-07-22
77
问题
设f(u)(u>0)有连续的二阶导数且z=f(e
x
2
-y
2
)满足方程
=4(x
2
+y
2
),求f(u).
选项
答案
z=f(e
x
2
-y
2
)是z=f(u)与u=e
x
2
-y
2
的复合函数,由复合函数求导法可导出[*]与f’(u),f’’(u)的关系式,从而由[*]=4(x
2
+y
2
)导出f(u)的微分方程式,然后解出f(u). 令u=e
x
2
-y
2
,则有 [*] 其中[*]=2x
x
2
-y
2
=2xu,[*]=-2ye
x
2
-y
2
=-2yu. 进而可得 [*]=4x
2
u
2
f’’(u)+(2u+4x
2
u)f’(u), [*]=4y
2
u
2
f’’(u)-(2u-4y
2
u)f’(u). 所以 [*]=4(x
2
+y
2
)u
2
f’’(u)+4(x
2
+y
2
)uf’(u). 由题设条件,得u
2
f’’(u)+uf’(u)-1=0. 这是可降阶的二阶方程,令P=f’(u),则方程化为u
2
[*]+uP=1. 解此一阶线性方程.将上述方程改写成 [*]uP=lnu+C
1
,即P=[*] 记y=f(u),于是[*]ln
2
u+C
1
lnu+C
2
(u>0), 其中C
1
,C
2
为任意常数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MQN4777K
0
考研数学二
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