当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点戈处的增量△y=+α，且y(0)=π，则y(1)=_________．

admin2019-01-12 50

问题当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点戈处的增量△y=

+α，且y(0)=π，则y(1)=_________．

选项

答案[*]

解析首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x=0，△x=l，于是△y=y(x₀+△x)一y(x₀)=y(1)一y(0)=y(1)一π，代入△y的表达式即得
y(1)一π=π+α ←→ y(1)=2π+α．
由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．
由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分

这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y_x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．
将方程dy=

．
求积分可得ln｜y｜=*]．
由初始条件y(0)=π可确定C=

．

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考研数学一

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