当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点戈处的增量△y=+α,且y(0)=π,则y(1)=_________.

admin2019-01-12  31

问题 当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点戈处的增量△y=+α,且y(0)=π,则y(1)=_________.

选项

答案[*]

解析 首先尝试从△y的表达式直接求y(1).为此,设x=0,△x=l,于是△y=y(x0+△x)一y(x0)=y(1)一y(0)=y(1)一π,代入△y的表达式即得
    y(1)一π=π+α  ←→  y(1)=2π+α.
由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小,而不知道α的具体表达式,因而从上式无法求出y(1).
    由此可见,为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α.利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知,函数y(x)在任意点x处的微分

这是一个可分离变量方程,它满足初始条件yx=0=π的特解正是本题中的函数y(x),解出y(x)即可得到y(1).
    将方程dy=
求积分可得ln|y|=*].
由初始条件y(0)=π可确定C=
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