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  3. 设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意的t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy． 求函数Q(x，y)的表达式

设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意的t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy． 求函数Q(x，y)的表达式

admin2017-05-31  45
问题 设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意的t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x，y)dy． 求函数Q(x，y)的表达式．
选项
答案由“曲线积分与路径无关的充分必要条件”知[*] 于是Q(x,y)=x2+c(y)，其中c(y)为待定的函数．又由于等式中的左边=∫(0,0)(t,1)2xydx+ Q(x,y)dy=∫01[t2+c(y)]dy=t2+∫01 c(y)dy ； 右边=∫(0,0)(1,t)2xydx+ Q(x,y)dy=∫0t[1+c(y)]dy=t+∫0t c(y)dy． 由题设知t2+∫0t c(y)dy．两边同时对变量t求导，得2t=1+c(t)，即c(t)=2t一1，从而c(y)=2y一1．于是，Q(x,y)=x2+2y一1．
解析 这实际上是曲线积分的一个逆问题．
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考研数学一

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