设平面区域D1={(x,y)||x+|y|≤1},D2={(x,y)|x2+y2≤1},D3={(x,y)|,则

admin2019-01-06  31

问题 设平面区域D1={(x,y)||x+|y|≤1},D2={(x,y)|x2+y2≤1},D3={(x,y)|,则

选项 A、I1<I2<I3
B、I1<I3<I2.  
C、I3<I1<I2
D、I3<I2<I1

答案C

解析 易见三个积分区域D1,D2,D3各自分别关于x轴对称,又各自分别关于y轴对称,记它们各自在第一象限的部分区域为D11,D21,D31.再利用被积函数f(x,y)=|xy|分别关于变量x与变量y都是偶函数,从而有

    因为三个积分区域D11,D21,D31的左边界都是y轴上的直线段{(x,y)|x=0,0≤y≤1},下边界都是x轴上的直线段{(x,y)|0≤x≤1,y=0},而D11的上边界是直线段{(x,y)|0≤x≤1,y=1-x},D21的上边界是圆弧{(x,y)|0≤x≤1,y=,D31的上边界是曲线弧{(x,y)|0≤x≤1,.不难发现当0<x<1时

即三个积分区域D11,D21与D31的包含关系是D31D21,如图4.1.从而利用被积函数|xy|非负且不恒等于零即知三个二重积分的大小关系应是I3<I1<I2,即应选(C).
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