设函数f(x)在[a，b］上连续，f(a)＝f(b)＝0，且fˊ(a)＜0，fˊ(b)＜0．求证：f(x)在(a，b)内必有一个零点．

admin2014-08-19 66

问题设函数f(x)在[a，b］上连续，f(a)＝f(b)＝0，且fˊ(a)＜0，fˊ(b)＜0．
求证：f(x)在(a，b)内必有一个零点．

选项

答案证：依据fˊ(x。)的局部性质：由于fˊ(a)＜0，所以存在点a的某一右邻域．对该邻域内的任一x(x＞a)，有f(x)＜f(a)＝0，取其中的一点x₁，有f(x₁)＜0，由于fˊ(b)＜0，所以存在点b的某一左领域，对该领域内的任一x(x＜6)，有f(x)＞f(b)＝0．取其中的一点x₂，有f(x₂)＞0．因函数f(x)在区间[x₁，x₂]∈(a，b)内连续，且f(x₁)×f(x₂)＜0，由零点定理知，函数f(x)在(a，b)内必有一个零点．

解析

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