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  3. 设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3． 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3． 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

admin2020-04-30  37
问题 设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；
选项
答案由A的各行元素之和为3知，λ1=3是A的特征值，其对应的特征向量为α1=k(1，1，1)T，k≠0为任意常数．由二次型f=xTAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ2=λ3=0，设其对应的特征向量为x=(x1，x2，x3)T，则有(x，α1)=0，即x1+x2+x3=0，解得λ2=λ3=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=xTAx化成标准形． f=3y21．
解析 本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次f=xTAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求A的特征向量，然后将二次型产f=xTAx化成标准形．
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考研数学一

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