设3元的实二次型f=xTAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准；

admin2020-04-30 19

问题设3元的实二次型f=x^TAx的秩为1，且A的各行元素之和为3．
求一个正交变换x=Py将二次型f=x^TAx化成标准；

选项

答案由A的各行元素之和为3知，λ₁=3是A的特征值，其对应的特征向量为α₁=k(1，1，1)^T，k≠0为任意常数．由二次型f=x^TAx的秩为1知r(A)=1，所以A有二重特征值λ₂=λ₃=0，设其对应的特征向量为x=(x₁，x₂，x₃)^T，则有(x，α₁)=0，即x₁+x₂+x₃=0，解得λ₂=λ₃=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵，x=Py为正交变换，将二次型f=x^TAx化成标准形． f=3y²₁．

解析本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目，先根据二次f=x^TAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值，再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，求A的特征向量，然后将二次型产f=x^TAx化成标准形．

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考研数学一

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