设3元的实二次型f=xTAx的秩为1,且A的各行元素之和为3. 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准;

admin2020-04-30  24

问题 设3元的实二次型f=xTAx的秩为1,且A的各行元素之和为3.
求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准;

选项

答案由A的各行元素之和为3知,λ1=3是A的特征值,其对应的特征向量为α1=k(1,1,1)T,k≠0为任意常数.由二次型f=xTAx的秩为1知r(A)=1,所以A有二重特征值λ23=0,设其对应的特征向量为x=(x1,x2,x3)T,则有(x,α1)=0,即x1+x2+x3=0,解得λ23=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵,x=Py为正交变换,将二次型f=xTAx化成标准形. f=3y21

解析 本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目,先根据二次f=xTAx的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值,再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,求A的特征向量,然后将二次型产f=xTAx化成标准形.
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