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设3元的实二次型f=xTAx的秩为1,且A的各行元素之和为3. 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准;
设3元的实二次型f=xTAx的秩为1,且A的各行元素之和为3. 求一个正交变换x=Py将二次型f=xTAx化成标准;
admin
2020-04-30
41
问题
设3元的实二次型f=x
T
Ax的秩为1,且A的各行元素之和为3.
求一个正交变换x=Py将二次型f=x
T
Ax化成标准;
选项
答案
由A的各行元素之和为3知,λ
1
=3是A的特征值,其对应的特征向量为α
1
=k(1,1,1)
T
,k≠0为任意常数.由二次型f=x
T
Ax的秩为1知r(A)=1,所以A有二重特征值λ
2
=λ
3
=0,设其对应的特征向量为x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则有(x,α
1
)=0,即x
1
+x
2
+x
3
=0,解得λ
2
=λ
3
=0对应的特征向量为 [*] 则P为正交矩阵,x=Py为正交变换,将二次型f=x
T
Ax化成标准形. f=3y
2
1
.
解析
本题主要考查综合运用二次型理论化抽象二次型为标准形的题目,先根据二次f=x
T
Ax的秩为1和A的各行元素之和为3确定A的特征值,再根据实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,求A的特征向量,然后将二次型产f=x
T
Ax化成标准形.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Mov4777K
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考研数学一
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