(09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2017-05-26 83

问题 (09年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝aχ₁²＋aχ₂²＋(a－1)χ₃²＋2χ₁χ₃－2χ₂χ₃．
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型厂的规范形为y₁²＋y₂²，求a的值．

选项

答案(Ⅰ)f的矩阵为A＝[*]，由特征方程 [*] 得A的特征值为λ₁＝a，λ₂＝a－2，λ₃＝a＋1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ₁＝a＝0，则λ₂＝－2＜0，λ₃＝1，不合题意；若λ₂＝a－2＝0，则a＝2，λ₁＝2，λ₃＝3，符合题意；若λ₃＝a＋1＝0，则a＝－1，λ₁＜－1＜0，λ₂＝－3＜0，不合题意．故a＝2．

解析

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考研数学三

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(09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

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