(09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

admin2017-05-26 35

问题 (09年)设二次型f(χ₁，χ₂，χ₃)＝aχ₁²＋aχ₂²＋(a－1)χ₃²＋2χ₁χ₃－2χ₂χ₃．
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型厂的规范形为y₁²＋y₂²，求a的值．

选项

答案(Ⅰ)f的矩阵为A＝[*]，由特征方程 [*] 得A的特征值为λ₁＝a，λ₂＝a－2，λ₃＝a＋1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ₁＝a＝0，则λ₂＝－2＜0，λ₃＝1，不合题意；若λ₂＝a－2＝0，则a＝2，λ₁＝2，λ₃＝3，符合题意；若λ₃＝a＋1＝0，则a＝－1，λ₁＜－1＜0，λ₂＝－3＜0，不合题意．故a＝2．

解析

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考研数学三

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(09年)设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3． (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12＋y22，求a的值．

考研数学三

A、2xe-xB、(一x2+2x)e-xC、e-xD、(2x一1)e-xC一方面，另一方面，比较两个计算结果可知应选C.

设n维向量a=(a，0，…，0，a)T，a＞0，E为n阶单位矩阵，矩阵A=E-aaT，B=，其中A的逆矩阵为B，则a=_________．

设3阶对称矩阵A的特征向量值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，又a1=(1，-1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证a1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵B．

设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求：(Ⅰ)A2；(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为a1，a2则a1，A(a1+a2)线性无关的充分必要条件是()．

设函数f(x)在x=0处连续，则下列命题错误的是()．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22+-2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．

设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵A满足AB=0，其中求：(A一3E)6．

已知三元二次型xTAx的平方项系数均为0，设α=(1，2，一1)T且满足Aα=2α．求该二次型表达式；

设n元二次型f(x1，x2，…,xn)=XTAX，其中AT=A．如果该二次型通过可逆线性变换X=CY可化为f(y1，y2，…，yn)=YTBY，则以下结论不正确的是()．

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A、 B、 C、 D、 D

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下列各项中，属于行政给付的是：

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已知业务发生前后，流动资产都小于流动负债，则赊购原材料若干，将会()。

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IfyouhavereallybeenstudyingEnglishforsolong,it’sabouttimeyou______abletowritelettersinEnglish.[1999]