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(09年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+aχ22+(a-1)χ32+2χ1χ3-2χ2χ3. (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12+y22,求a的值.
(09年)设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+aχ22+(a-1)χ32+2χ1χ3-2χ2χ3. (Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型厂的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2017-05-26
58
问题
(09年)设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=aχ
1
2
+aχ
2
2
+(a-1)χ
3
2
+2χ
1
χ
3
-2χ
2
χ
3
.
(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型厂的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
(Ⅰ)f的矩阵为A=[*],由特征方程 [*] 得A的特征值为λ
1
=a,λ
2
=a-2,λ
3
=a+1. (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2,正惯性指数为2(负惯性指数为0),因此,A的特征值2个为正,1个为0. 若λ
1
=a=0,则λ
2
=-2<0,λ
3
=1,不合题意;若λ
2
=a-2=0,则a=2,λ
1
=2,λ
3
=3,符合题意;若λ
3
=a+1=0,则a=-1,λ
1
<-1<0,λ
2
=-3<0,不合题意.故a=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/MtH4777K
0
考研数学三
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