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[2002年] 某闸门的形状与大小如图1.3.5.16所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所组成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多
[2002年] 某闸门的形状与大小如图1.3.5.16所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所组成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多
admin
2021-01-19
112
问题
[2002年] 某闸门的形状与大小如图1.3.5.16所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部由二次抛物线与线段AB所组成,当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少米?(单位:m)
选项
答案
依据水压力的计算公式P=ρghA(A是平板的面积),利用微元法求之.先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式,再根据两者的关系求出h. 解一 如图1.3.5.1 7所示,抛物线的方程为y=x
2
.当y=1时,x=±1. 闸门矩形部分承受的水压力微元为 dP
1
=ρg(h+1一y)(深度)·[1-(一1)]dy(面积微元), 故 P
1
=∫
1
h+1
dP
1
=2∫
1
h+1
ρg(h+1-y)dy=2ρg[(h+1)y一[*]]
1
h+1
=ρgh
2
, 其中ρ为水的密度,g为重力加速度.闸门下部承受的水压力微元为 dP
2
=ρg(h+1一y)(深度)·[√y一(一√y)]dy(面积微元)=2pg(h+1一y)√ydy, 故 P
2
=∫
0
1
dP
2
=2∫
0
1
ρg(h+1一y)√ydy=4ρg[*]. 由题意知 [*] 由此解得h=2,h=一1/3(舍去),故h=2(m). 解二 如图1.3.5.18所示建立坐标系,此时抛物线方程为 x=h+1一y
2
(0≤x≤h+1), 且x=h时,y=±1,因而矩形两边的方程为y=1,y=一1. 在此坐标系下闸门矩形部分承受水压力微元为 dP
1
=ρgx(深度)·[1一(一1)]dx(面积微元)=2ρgx dx, 故 P
1
=∫
0
h
dP
1
=∫
0
h
2ρgxdx=ρgh
2
. 闸门下部承受的水压力微元为 dP
1
=ρgx(深度)·[*]dx(面积微元) =2ρgx[*]dx, 故P
2
=∫
h
h+1
dP
2
=∫
h
h-1
2ρgx[*]∫
0
1
4ρgt
2
(h+1一t
2
)dt =4ρg[*] [*]
解析
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考研数学二
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