[2002年] 某闸门的形状与大小如图1．3．5．16所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所组成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多

admin2021-01-19 80

问题 [2002年] 某闸门的形状与大小如图1．3．5．16所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所组成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?(单位：m)

选项

答案依据水压力的计算公式P=ρghA(A是平板的面积)，利用微元法求之．先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据两者的关系求出h．解一如图1．3．5．1 7所示，抛物线的方程为y=x²．当y=1时，x=±1．闸门矩形部分承受的水压力微元为 dP₁=ρg(h+1一y)(深度)·[1－(一1)]dy(面积微元)，故 P₁=∫₁^h+1dP₁=2∫₁^h+1ρg(h+1－y)dy=2ρg[(h+1)y一[*]]₁^h+1=ρgh²，其中ρ为水的密度，g为重力加速度．闸门下部承受的水压力微元为 dP₂=ρg(h+1一y)(深度)·[√y一(一√y)]dy(面积微元)=2pg(h+1一y)√ydy，故 P₂=∫₀¹dP₂=2∫₀¹ρg(h+1一y)√ydy=4ρg[*]. 由题意知 [*] 由此解得h=2，h=一1／3(舍去)，故h=2(m)．解二如图1．3．5．18所示建立坐标系，此时抛物线方程为 x=h+1一y² (0≤x≤h+1)，且x=h时，y=±1，因而矩形两边的方程为y=1，y=一1．在此坐标系下闸门矩形部分承受水压力微元为 dP₁=ρgx(深度)·[1一(一1)]dx(面积微元)=2ρgx dx，故 P₁=∫₀^hdP₁=∫₀^h2ρgxdx=ρgh²．闸门下部承受的水压力微元为 dP₁=ρgx(深度)·[*]dx(面积微元) =2ρgx[*]dx，故P₂=∫_h^h+1dP₂=∫_h^h-12ρgx[*]∫₀¹4ρgt²(h+1一t²)dt =4ρg[*] [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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