2. 考研
  3. [2002年] 某闸门的形状与大小如图1．3．5．16所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所组成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多

[2002年] 某闸门的形状与大小如图1．3．5．16所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所组成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多

admin2021-01-19  59
问题  [2002年]  某闸门的形状与大小如图1．3．5．16所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所组成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少米?(单位：m)
选项
答案 依据水压力的计算公式P=ρghA(A是平板的面积)，利用微元法求之．先利用定积分求出两部分所受的水压力的表达式，再根据两者的关系求出h． 解一 如图1．3．5．1 7所示，抛物线的方程为y=x2．当y=1时，x=±1． 闸门矩形部分承受的水压力微元为 dP1=ρg(h+1一y)(深度)·[1－(一1)]dy(面积微元)， 故 P1=∫1h+1dP1=2∫1h+1ρg(h+1－y)dy=2ρg[(h+1)y一[*]]1h+1=ρgh2， 其中ρ为水的密度，g为重力加速度．闸门下部承受的水压力微元为 dP2=ρg(h+1一y)(深度)·[√y一(一√y)]dy(面积微元)=2pg(h+1一y)√ydy， 故 P2=∫01dP2=2∫01ρg(h+1一y)√ydy=4ρg[*]. 由题意知 [*] 由此解得h=2，h=一1／3(舍去)，故h=2(m)． 解二 如图1．3．5．18所示建立坐标系，此时抛物线方程为 x=h+1一y2 (0≤x≤h+1)， 且x=h时，y=±1，因而矩形两边的方程为y=1，y=一1． 在此坐标系下闸门矩形部分承受水压力微元为 dP1=ρgx(深度)·[1一(一1)]dx(面积微元)=2ρgx dx， 故 P1=∫0hdP1=∫0h2ρgxdx=ρgh2． 闸门下部承受的水压力微元为 dP1=ρgx(深度)·[*]dx(面积微元) =2ρgx[*]dx， 故P2=∫hh+1dP2=∫hh-12ρgx[*]∫014ρgt2(h+1一t2)dt =4ρg[*] [*]
解析
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考研数学二

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