2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (1)证明α1，α2，α3线性无关； (2)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3． (1)证明α1，α2，α3线性无关； (2)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．

admin2014-01-26  65
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值－1，1的特征向量，向量α3满足Aα3＝α2＋α3．
    (1)证明α1，α2，α3线性无关；
    (2)令P＝(α1，α2，α3)，求P－1AP．
选项
答案(1)令 x1α1＋x2α2＋x3α3＝0． ① 因为Aα11＝－α1， Aα2＝α2， Aα3＝α2＋α3， 用A左乘①得 －x1α1＋x2α2＋x3α3＝0 ② ①－②得 2x1α1－x3α2＝0 ③ 因为α1，α2分别为A的不同特征值对应的特征值向量，所以线性无关，于是x1＝x3＝0． 代入①得x2口2α2＝0，又α2≠0，故x2＝0．即有α1，α2，α3线性无关． (2)由 AP＝A(α1，α2，α3)＝(Aα1，Aα2，Aα3)＝(－α1，α2，α2＋α3) [*] 由(1)知P可逆，故P－1AP＝[*]
解析 [分析]  一个向量组的线性无关性常用定义证明，而且根据本题的条件容易想到用A左乘等式两边．
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考研数学二

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