设D＝｛(x，y)｜x2＋y2)≤π}，计算积分I＝sin(x2＋y2)dxdy

admin2022-06-09 70

问题设D＝｛(x，y)｜x²＋y²)≤π}，计算积分I＝

sin(x²＋y²)dxdy

选项

答案依题意，有 I＝e^π[*]464sin(x²＋y²)dxdy＝e^π∫₀^2πdθ[*]465sinr²dr ＝2πe^π[*]466sinr²dr[*]467πe4^π∫₀^πe^-tsintdt 记I₁＝∫₀^πe^-tsintdt I₁＝－∫₀^πsintd(e^-t)＝－(e^-tt｜₀^π－∫₀^πe^-tcostdt) ＝－∫₀^πcostd(e^-t)＝－(e^-tt｜₀^π＋∫₀^πe^-tsintdt) ＝e^-π＋1－I₁ 移项，得I₁＝1/2(1＋e^-π)，故I＝πe^πI₁＝π/2(1＋e^π)

解析

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