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设三阶对称矩阵A的特征值为0,1,1。α1,α2是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2。 (1)证明α1Tα2=0; (2)求方程组AX=α2的通解。
设三阶对称矩阵A的特征值为0,1,1。α1,α2是A的两个不同的特征向量,且A(α1+α2)=α2。 (1)证明α1Tα2=0; (2)求方程组AX=α2的通解。
admin
2020-12-06
32
问题
设三阶对称矩阵A的特征值为0,1,1。α
1
,α
2
是A的两个不同的特征向量,且A(α
1
+α
2
)=α
2
。
(1)证明α
1
T
α
2
=0;
(2)求方程组AX=α
2
的通解。
选项
答案
解 先证明α
1
与α
2
是属于不同特征值的特征向量,且α
1
是属于特征值λ
1
=0的特征向量,α
2
是属于特征值λ
2
=1的特征向量,否则都与A(α
1
+α
2
)=α
2
矛盾。 例如:若Aα
1
=α
1
,Aα
2
=0·α
2
,则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
=α
1
≠α
2
; 若Aα
1
=α
1
,Aα
2
=α
2
,则 A(α
1
+α
2
)=Aα
1
+Aα
2
=α
1
+α
2
≠α
2
(因α
1
为特征向量,α
1
≠0)。 α
1
,α
2
既然属于不同特征值的特征向量,由A为实对称矩阵便有α
1
T
α
2
=0。 因A为实对称矩阵,必与对角矩阵[*]相似,因而秩(A)=2,则AX=0的一个基础解系含3-2=1个解向量,由Aα
1
=0α
1
=0知,α
1
为基础解系。 又由A(α
1
+α
2
)=α
2
及Aα
2
=1·α
2
=α
2
知,α
2
与α
1
+α
2
都为AX=α
2
的特解,故AX=α
2
的通解为kα
1
+α
2
或kα
1
+(α
1
+α
2
)。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/N4v4777K
0
考研数学一
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[*]
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