设随机变量X的概率密度为f(x),则随机变量|X|的概率密度f1(x)为( )。

admin2019-07-01  23

问题 设随机变量X的概率密度为f(x),则随机变量|X|的概率密度f1(x)为(     )。

选项 A、 
B、 
C、 
D、 

答案D

解析 解一  设|X|的分布函数为F1(x),X的分布函数为F(x),则当x≤0时,{|X|≤x}为不可能事件,故
    P(|X|≤x)=P()=0,
从而    f1(x)=F’1(x)=0。
    当x>0时,{|X|≤x}={-x≤X≤x),因而
    P(-x≤X≤x)=P(X≤x)-P(X≤-x)=F(x)-F(-x),
则    F1(x)=P(|X|≤x)=F(x)-F(-x),
    f1(x)=F’1(x)=[F(x)-F(-x)]’
=F’(x)-F’(-x)(-1)
=F’(x)+F’(-x)
    =f(x)+f(-x),
故f1(x)=F’1(x)=仅(D)入选。
    解二  因|X|≥0,故当x<0时,必有
    F1(x)=P(|x|≤x)=P()=0,
从而x≤0时,必有f1(x)=0,于是选项(A)、(B)应排除,又因

产生矛盾,故排除(C),仅(D)入选。
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