2. 考研
  3. 设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．

设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．

admin2022-01-05  76
问题 设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是(     )．
选项 A、α1+α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1
B、α1一α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1
C、α1一α2 ，α2一α3 ，α3一α4 ，α4+α5 ，α5+α1
D、α1一α2 ，α2一α3 ，α3一α4 ，α4一α5 ，α5一α1
答案A
解析 上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量，这是显然的．关键要确定哪一组向量线性无关．可利用下述结论观察求出：
已知向量组α1 ，α2 ，…，αs(s≥2)线性无关，设β1=α1±α2 ，β2=α2±α3 ，…，βs一1一αs一1±αs ，βs=αs±α1 ，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则
(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β1 ，β2 ，…，βr线性相关；
(2)当x与k的奇偶性相反时，向量组β1 ，β2 ，…，βr线性无关．
由线性相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关．因
(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α5)+(α5一α1)=0，
至于(B)、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关．例如对于(B)．有
[α1一α2 ，α2+α3 ，α3+α4 ，α4+α5 ，α5+α1]=[α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5]

故选项(B)中向量组线性相关，同理，可证选项(C)中向量组也线性相关．
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考研数学三

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