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设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．
设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α1 ，α2 ，α3 ，α4 ，α5是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．
admin
2022-01-05
85
问题
设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0，r(A)=n一5，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，α
5
是该方程组5个线性无关的解向量，则方程组AX=0的一个基础解系是( )．
选项
A、α
1
+α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
+α
5
，α
5
+α
1
B、α
1
一α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
+α
5
，α
5
+α
1
C、α
1
一α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
4
，α
4
+α
5
，α
5
+α
1
D、α
1
一α
2
，α
2
一α
3
，α
3
一α
4
，α
4
一α
5
，α
5
一α
1
答案
A
解析
上述各选择项中的向量均为AX=0的解向量，这是显然的．关键要确定哪一组向量线性无关．可利用下述结论观察求出：
已知向量组α
1
，α
2
，…，α
s
(s≥2)线性无关，设β
1
=α
1
±α
2
，β
2
=α
2
±α
3
，…，β
s一1
一α
s一1
±α
s
，β
s
=α
s
±α
1
，其中s为向量组中的向量个数．又设上式中带负号的向量个数为k，则
(1)当s与k的奇偶性相同时，向量组β
1
，β
2
，…，β
r
线性相关；
(2)当x与k的奇偶性相反时，向量组β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关．
由线性相关的定义易知，选项(D)中向量组线性相关．因
(α
1
一α
2
)+(α
2
一α
3
)+(α
3
一α
4
)+(α
4
一α
5
)+(α
5
一α
1
)=0，
至于(B)、(C)中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关．例如对于(B)．有
[α
1
一α
2
，α
2
+α
3
，α
3
+α
4
，α
4
+α
5
，α
5
+α
1
]=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
，α
5
]
故选项(B)中向量组线性相关，同理，可证选项(C)中向量组也线性相关．
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考研数学三
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