2. 考研
  3. 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．

设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布， (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度； (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度； (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．

admin2018-06-12  29
问题 设随机变量(X，Y)在矩形区域D＝{(χ，y)：0＜χ＜2．0＜y＜2}上服从均匀分布，
    (Ⅰ)求U＝(X＋Y)2的概率密度；
    (Ⅱ)求V＝max(X，Y)的概率密度；
    (Ⅲ)求W＝XY的概率密度．
选项
答案(Ⅰ)设U的分布函数为FU(u)，则 当u＜0时，FU(u)＝P{U≤u}＝0； 当u≥16时，FU(u)＝P{U≤u}＝1； 当0≤u＜4时，如图7—1(a)： [*] FU(u)＝P{(X＋Y)2≤u} ＝P{0≤X＋Y≤[*]} ＝[*] 当4≤u＜16时， FU(u)＝P{(X＋Y)2≤u}＝P{0≤X＋Y≤[*]} ＝[*] 因此U的概率密度fU(u)为 [*] (Ⅱ)记V的分布函数为FV(v)，由于(X，Y)服从均匀分布的区域D是边长平行于坐标轴的矩形因此X与Y相互独立且都服从区间(0，2)上的均匀分布，它们的边缘分布函数都是 [*] FV(v)＝P{V≤v}＝P{max(X，Y)≤v} ＝P{X≤v，Y≤v}＝P{X≤v}P{Y≤v} ＝FX(v)FY(v)＝[F(v)]2 ＝[*] 于是V的概率密度fV(v)为 [*] (Ⅲ)记W的分布函数为FW(w)，则 当w＜0时，FW(w)＝0；当w≥4时，FW(w)＝1； 当0≤w＜4时，如图7—1(b)： [*] FW(w)＝P{W≤w}＝P{XY≤w}＝[*] SD－[*]＝w＋w(2ln2－lnw)， FW(w)＝[*](1＋2ln2－lnw)． 或先计算概率P{XY＞w}： P{XY＞w}＝[*]f(χ，y)dχdy． 由于(X，Y)服从D上均匀分布，其联合概率密度f(χ，y)为 [*] FW(w)＝1－P{XY＞w}＝[*](1＋2ln2－lnw)． 于是，W的概率密度fW(w)为 [*]
解析
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考研数学一

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