设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。

admin2018-05-25 49

问题设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t^-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
∮_Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。

选项

答案在方程f(tx，ty)=t^-2(x，y)两边对t求导得 xf’₁(tx，ty)+yf’₂(tx，ty)=一2t^-3f(x，y)，令t=1，则有 xf’₁(x，y)+yf’₂(x，y)=一2f(x，y)。 (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，则 [*]=f(x，y)+yf’₂(x，y)。根据(*)式可得[*]。故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮_Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0。

解析

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考研数学一

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设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。

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