2. 考研
  3. 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。

设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。

admin2018-05-25  35
问题 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
    ∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。
选项
答案在方程f(tx，ty)=t-2(x，y)两边对t求导得 xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=一2t-3f(x，y)， 令t=1，则有 xf’1(x，y)+yf’2(x，y)=一2f(x，y)。 (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，则 [*]=f(x，y)+yf’2(x，y)。 根据(*)式可得[*]。 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 ∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0。
解析
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考研数学一

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