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设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都;f(tx,ty)=t-2f(x,y)。证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 ∮Lyf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0。
设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都;f(tx,ty)=t-2f(x,y)。证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 ∮Lyf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0。
admin
2018-05-25
47
问题
设在上半平面D={(x,y)|y>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都;f(tx,ty)=t
-2
f(x,y)。证明:对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
∮
L
yf(x,y)dx—xf(x,y)dy=0。
选项
答案
在方程f(tx,ty)=t
-2
(x,y)两边对t求导得 xf’
1
(tx,ty)+yf’
2
(tx,ty)=一2t
-3
f(x,y), 令t=1,则有 xf’
1
(x,y)+yf’
2
(x,y)=一2f(x,y)。 (*) 设P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=一xf(x,y),则 [*]=f(x,y)+yf’
2
(x,y)。 根据(*)式可得[*]。 故由曲线积分与路径无关的定理可知,对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 ∮
L
yf(x,y)dx一xf(x,y)dy=0。
解析
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考研数学一
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