2. 考研
  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量： (2)求矩

设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵． (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量： (2)求矩

admin2016-05-09  29
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝2，α1＝(1，－1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．
    (1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量：
    (2)求矩阵B．
选项
答案(1)由Aα1＝α1得A2α1＝Aα1＝α1，依次递推，则有A3α1＝α1，A5α1＝α1， 故Bα1＝(A5－4A3＋E)α1 ＝A5α1－4A3α1＋α1＝－2α1， 即α1是矩阵B的属于特征值－2的特征向量． 由关系式B＝A5－4A3＋E及A的3个特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2得B的3个特征值为μ1＝－2，μ2＝1，μ3＝1． 设α2，α3为B的属于μ2＝μ3＝1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2＝0，α1Tα3＝0． 因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 (1，－1，1)[*]＝0， 得其基础解系为：[*]，故可取[*] 即B的全部特征值的特征向量为：[*]，其中k1≠0，k2，k3，不同时为零． [*]
解析
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考研数学一

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