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设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=2,α1=(1,-1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量: (2)求矩
设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1,λ2=2,λ3=2,α1=(1,-1,1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量,记B=A5-4A3+E,其中E为3阶单位矩阵. (1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量: (2)求矩
admin
2016-05-09
63
问题
设3阶实对称矩阵A的特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=2,α
1
=(1,-1,1)
T
是A的属于特征值λ
1
的一个特征向量,记B=A
5
-4A
3
+E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α
1
是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量:
(2)求矩阵B.
选项
答案
(1)由Aα
1
=α
1
得A
2
α
1
=Aα
1
=α
1
,依次递推,则有A
3
α
1
=α
1
,A
5
α
1
=α
1
, 故Bα
1
=(A
5
-4A
3
+E)α
1
=A
5
α
1
-4A
3
α
1
+α
1
=-2α
1
, 即α
1
是矩阵B的属于特征值-2的特征向量. 由关系式B=A
5
-4A
3
+E及A的3个特征值λ
1
=1,λ
2
=2,λ
3
=-2得B的3个特征值为μ
1
=-2,μ
2
=1,μ
3
=1. 设α
2
,α
3
为B的属于μ
2
=μ
3
=1的两个线性无关的特征向量,又由A为对称矩阵,则B也是对称矩阵,因此α
1
与α
2
、α
3
正交,即α
1
T
α
2
=0,α
1
T
α
3
=0. 因此α
2
,α
3
可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解,即 (1,-1,1)[*]=0, 得其基础解系为:[*],故可取[*] 即B的全部特征值的特征向量为:[*],其中k
1
≠0,k
2
,k
3
,不同时为零. [*]
解析
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0
考研数学一
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