求y"+y=x3－x+2的通解．

admin2019-02-20 65

问题求y"+y=x³－x+2的通解．

选项

答案方程的自由项是三次多项式f(x)=x³－x+2，方程的特征根满足λ²+1=0，从而是共轭复根λ₁=i和λ₂=－i．所以，对应齐次微分方程的通解是[*]=C₁cosx+C₂sinx，而非齐次微分方程的特解可取为y^*(x)=Ax³+Bx²+Cx+D，代入方程可得待定常数A，B，C，D应满足 Ax³+Bx²+(6A+C)x+2B+D=x³－x+2，由此可确定A=1，B=0，C=－7，D=2．所以原方程的通解为 y(x)=C₁cosx+C₂sinx+x³－7x+2，其中C₁与C₂是两个任意常数．

解析

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