2. 考研
  3. 设f(x)在[一a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt，f(0)=0，证明：存在一点ξ∈[一a，a]，使得a4｜f"’(ξ)｜=12∫—aa｜f(x)｜dx．

设f(x)在[一a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt，f(0)=0，证明：存在一点ξ∈[一a，a]，使得a4｜f"’(ξ)｜=12∫—aa｜f(x)｜dx．

admin2017-07-26  65
问题 设f(x)在[一a，a]上具有三阶连续导数，且满足f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt，f(0)=0，证明：存在一点ξ∈[一a，a]，使得a4｜f"’(ξ)｜=12∫—aa｜f(x)｜dx．
选项
答案由f’(x)=x2+∫0xtf(x—t)dt[*]x2+x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du， 知f’(0)=0，f"(x)=2x+I f(u)du，f"(0)=0． 根据台劳公式，有 [*] 这里m，M为｜f"’(x)｜在[一a，a]上的最小值、最大值． 故存在点ξ∈[一a，a]使得｜f"’(ξ)｜=[*]=f(x)｜dx．
解析 只要证｜f"’(ξ)｜=｜f(x)dx，由于｜f"(x)｜在[—a，a]上连续，可对f"’(x)在[一a，a]上用介值定理．为证明｜f(x)dx如介于｜f"’(x)｜在[—a，a]上的最小值和最大值之间．对f(x)用麦克劳林公式．
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考研数学三

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