2. 考研
  3. 已知P[x]2={f(x)=a0+a1x+a2x2|ai∈P，i=1，2，3}对多项式的加法与数乘运算构成P上的3维线性空间． (1)证明：x2+x，x2一x，x+1是P[x]2的一个基． (2)求2x2+7x+3在此基下的坐标．

已知P[x]2={f(x)=a0+a1x+a2x2|ai∈P，i=1，2，3}对多项式的加法与数乘运算构成P上的3维线性空间． (1)证明：x2+x，x2一x，x+1是P[x]2的一个基． (2)求2x2+7x+3在此基下的坐标．

admin2020-09-25  100
问题 已知P[x]2={f(x)=a0+a1x+a2x2|ai∈P，i=1，2，3}对多项式的加法与数乘运算构成P上的3维线性空间．
  (1)证明：x2+x，x2一x，x+1是P[x]2的一个基．
  (2)求2x2+7x+3在此基下的坐标．
选项
答案(1)在P[x]2中任取一个多项式f(x)=a0+a1x+a2x2，设 a0+a1x+a2x2=l1(x2+x)+l2(x2一x)+l3(x+1)， 整理可得(l1+l2)x2+(l1一l2+l3)x+l3=a2x2+a1x+a0， 从而有方程组 [*] 其系数行列式[*]=一2≠0，从而可得方程组有唯一解， 解得l1=[*](a2+a1一a0)，l2=[*](a2一a1+a0)，l3=a0． ① 所以f(x)可由x2+x，x2-x，x+1唯一线性表示． 所以方程k1(x2+x)+k2(x2一x)+k3(x+1)=0仅有零解，所以x2+x，x2一x，x+1 线性无关．故x2+x，x2一x，x+1是P[x]2的一个基． (2)设2x2+7x+3=l1(x2+x)+l2(x2一x)+l3(x+1)，令a0=3，a1=7，a2=2代入式① 中可得：l1=3，l2=一1，l3=3． 所以2x2+7x+3=3(x2+x)一(x2一x)+3(x+1)． 从而2x2+7x+3在基x2+x，x2一x，x+1下的坐标为(3，一1，3)T．
解析
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考研数学三

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