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设某班车起点站上客人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且途中下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求: (Ⅰ)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (Ⅱ)二维随机变量(X,Y)的概率分布。
设某班车起点站上客人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且途中下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求: (Ⅰ)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率; (Ⅱ)二维随机变量(X,Y)的概率分布。
admin
2018-04-11
16
问题
设某班车起点站上客人数X服从参数λ(λ>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且途中下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:
(Ⅰ)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率;
(Ⅱ)二维随机变量(X,Y)的概率分布。
选项
答案
(Ⅰ)求在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率,相当于求条件概率P{Y=m|X=n},由题设知,此条件概率服从二项分布,因此根据二项分布的分布律有: P{Y=m|X—n}=C
n
m
p
m
(1—p)
n—m
,0≤m≤n,n=0,1,2…。 (Ⅱ)求二维随机变量(X,Y)的概率分布,其实就是求P{X=n,Y=m},利用乘法公式,有 P{X=n,Y=m)=P{Y=m|X=n}P{X=n}。 又X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,由泊松分布的分布律有P{X=n}=λ
n
/n!e
—λ
,故 P{X=n,Y=m)=P{Y=m|X=n}P{X=n}=C
n
m
p
m
(1—p)
n—m
.e
—λ
/n!λ
n
,其中0≤m≤n,n=0,1,2…。
解析
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考研数学一
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