(1)证明：对任意正整数n，都有成立． (2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．

admin2014-01-26 68

问题 (1)证明：对任意正整数n，都有

成立．
(2)设

(n＝1，2，…)，证明数列{a_n}收敛．

选项

答案(1)方法一根据拉格朗日定理，存在ε∈(n，n＋1)，使得[*] 所以[*] 方法二考虑函数不等式[*]＜ln(1 ＋x)＜x(0＜x＜1)．先证In(1＋x)＜x，令f(x)＝ln(1＋x)－x，则[*]，有f(x)在[0，1]上单调递减．因而当0＜x＜1时，f(x)＜f(0)＝0，即ln(1＋x)n}单调递减．由(1)得a_n＋1－a_n＝[*]，所以数列{a_n}单调递减．再证数列{a_n}有下界．由(1)得[*] 即数列{a_n}有下界．故数列{a_n}收敛．

解析对(1)用拉格朗日定理或把

换为x转化为函数不等式的证明；对(2)用单调有界原理．

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