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(1)证明:对任意正整数n,都有成立. (2)设(n=1,2,…),证明数列{an}收敛.
(1)证明:对任意正整数n,都有成立. (2)设(n=1,2,…),证明数列{an}收敛.
admin
2014-01-26
53
问题
(1)证明:对任意正整数n,都有
成立.
(2)设
(n=1,2,…),证明数列{a
n
}收敛.
选项
答案
(1)方法一 根据拉格朗日定理,存在ε∈(n,n+1),使得[*] 所以[*] 方法二 考虑函数不等式[*]<ln(1 +x)<x(0<x<1). 先证In(1+x)<x,令f(x)=ln(1+x)-x, 则[*],有f(x)在[0,1]上单调递减. 因而当0<x<1时,f(x)<f(0)=0,即ln(1+x)
n}单调递减. 由(1)得a
n+1
-a
n
=[*],所以数列{a
n
}单调递减. 再证数列{a
n
}有下界.由(1)得[*] 即数列{a
n
}有下界.故数列{a
n
}收敛.
解析
对(1)用拉格朗日定理或把
换为x转化为函数不等式的证明;对(2)用单调有界原理.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Nm34777K
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考研数学二
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