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  3. (1)证明：对任意正整数n，都有成立． (2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．

(1)证明：对任意正整数n，都有成立． (2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．

admin2014-01-26  53
问题 (1)证明：对任意正整数n，都有成立．
(2)设(n＝1，2，…)，证明数列{an}收敛．
选项
答案(1)方法一 根据拉格朗日定理，存在ε∈(n，n＋1)，使得[*] 所以[*] 方法二 考虑函数不等式[*]＜ln(1 ＋x)＜x(0＜x＜1)． 先证In(1＋x)＜x，令f(x)＝ln(1＋x)－x， 则[*]，有f(x)在[0，1]上单调递减． 因而当0＜x＜1时，f(x)＜f(0)＝0，即ln(1＋x)n}单调递减． 由(1)得an＋1－an＝[*]，所以数列{an}单调递减． 再证数列{an}有下界．由(1)得[*] 即数列{an}有下界．故数列{an}收敛．
解析 对(1)用拉格朗日定理或把换为x转化为函数不等式的证明；对(2)用单调有界原理．
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考研数学二

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