2. 考研
  3. 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。

admin2017-12-29  48
问题 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r（A）=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r（A+E）。
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α（α≠0）是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是Anλ=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=0，得（λ4+2λ3+λ2+2λ）α=0。 因为特征向量λ≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ（λ+2）（λ2+1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或一2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r（A）=r（Λ）=2，所以A的特征值是0，一2，一2。 因A～Λ，则有A+E～Λ+E=[*]所以r（A+E）=r（Λ+E）=3。
解析
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考研数学三

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