设函数y=y(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2ex，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x2一x+l在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

admin2017-04-24 39

问题设函数y=y(x)满足微分方程y"一3y’+2y=2e^x，其图形在点(0，1)处的切线与曲线y=x²一x+l在该点处的切线重合，求函数y的解析表达式．

选项

答案特征方程r一2r+2=0 解得r₁=1，r₂=2．则齐次方程通解为 [*]=C₁e^x+C₂e^2x 设非齐次方程特解为 y^*=Axe^x，代入原方程得A=一2 故原方程通解为 y=C₁e^x+C₂e^2x一2xe^x (*) 又由题设y=y(x)的图形在点(0，1)处切线与曲线y=x²一x+1在该点的切线重合，由此可知y(0)=1，y’(0)=(2x一1)|_x=0=一1 利用此条件由(*)式可得 C₁=1，C₂=0 因此所求解为 y=(1一2x)e^x.

解析

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考研数学二

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