2. 考研
  3. 求下列幂级数的收敛域或收敛区间： (Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

求下列幂级数的收敛域或收敛区间： (Ⅲ) anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间) (Ⅳ) ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．

admin2018-11-21  17
问题 求下列幂级数的收敛域或收敛区间：

(Ⅲ)  anxn的收敛半径R=3；(只求收敛区间)
(Ⅳ)  ax(x一3)n，其中x=0时收敛，x=6时发散．
选项
答案(Ⅰ)[*]有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式计算收敛半径．首先计算 [*] 所以R=1． 再考察两个端点，即x=±1时的敛散性．显然x=1，级数[*]是发散的．而x=一1时，[1*]单调递减，令f(x)=[*]＜1，ln(1+x)＞1，这就说明f’(x)＜0，f(x)单调递减．所以[*]满足莱布尼兹判别法的两个条件，该级数收敛． 这样，即得结论：[*]xn—1的收敛域为[一1，1)． (Ⅱ)这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为0(a2n—1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收敛半径公式求收敛半径R．一般有两种方法： 它是函数项级数，可直接用根值判别法．由于 [*] (Ⅲ)[*]nan(x一1)n+1=(x一1)2[[*]an(x一1)n]’，由幂级数逐项求导保持收敛半径不变的特点知，[*]nan(x一1)n+1与[*]an(x一1)n有相同的收敛半径R=3．因而其收敛区间为(一2，4)． (Ⅳ)令t=x一3，考察[*]antn，由题设t=一3时它收敛→收敛半径R≥3，又t=3时其发散→R≤3．因此R=3，[*]antn的收敛域是[一3，3)，原级数的收敛域是[0，6)．
解析
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考研数学一

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