设二次型f(x1，x2，x1)=x12+x22+x32一2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+6y32，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

admin2020-12-17 65

问题设二次型f(x₁，x₂，x₁)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂－2x₁x₃+2ax₂x₃通过正交变换化为标准形f=2y₁²+2y₂²+6y₃²，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 [*] 由题设可知A～A，故有 [*] 于是矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=一1．求解方程组(2E—A)x=0的基础解系，得λ₁=λ₂=2对应的特征向量为α₁=(1，0，一1)^T，α₂=(1，一2，1)^T．求解方程组(一E—A)x=0的基础解系，得λ₃=一1的特征向量α₃=(1，1，1)^T．因α₁，α₂已经正交，故只需将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x1)=x12+x22+x32一2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+6y32，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

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