设二次型f(x1，x2，x1)=x12+x22+x32一2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+6y32，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

admin2020-12-17 103

问题设二次型f(x₁，x₂，x₁)=x₁²+x₂²+x₃²一2x₁x₂－2x₁x₃+2ax₂x₃通过正交变换化为标准形f=2y₁²+2y₂²+6y₃²，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

选项

答案二次型f(x₁，x₂，x₃)及其经正交变换后的标准形所对应的矩阵分别为 [*] 由题设可知A～A，故有 [*] 于是矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=一1．求解方程组(2E—A)x=0的基础解系，得λ₁=λ₂=2对应的特征向量为α₁=(1，0，一1)^T，α₂=(1，一2，1)^T．求解方程组(一E—A)x=0的基础解系，得λ₃=一1的特征向量α₃=(1，1，1)^T．因α₁，α₂已经正交，故只需将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*]

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x1)=x12+x22+x32一2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+6y32，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

考研数学三

[2010年]设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且[*]证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

[2011年]设函数则dz｜1,1=____________．

[2016年]求幂级数的收敛域及和函数．

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()

设X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体都为正态分布N(μ，σ2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为SX2和SY2，则统计量T=(n一1)(SX2+SY2)的方差D(T)=()

设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α[，若P{|X|＜x}=α，则x等于()

曲线的渐近线有()

设总体X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立，分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为SX2和SY2，并记，则这四个统计量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是()

[2009年]设X1，X2，…，Xn是来自二项分布总体B(n，P)的简单随机样本，[]和S2分别为样本均值和样本方差．记统计量[]则E(T)=___________．

若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E｜=_________.

（）完全依赖于零件制造精度的装配方法是完全互换法。

下述各项检查中，哪项代表的意义是不恰当的

男性患儿，12岁，低热37℃左右1个月，并感右股骨中段疼痛伴轻度肿胀。血色素11g/L，血沉55mm/h。X线检查示股骨中段溶骨性破坏呈梭形影，伴轻度成骨。外有明显骨膜反应，软组织内未见肿块。最佳的治疗方案是

下列人员中，不能以本人或者他人名义从事期货交易的有()。

下列事项中，必须经有限责任公司股东会决议并经代表2／3以上表决权的股东通过的是()。

《幼儿园工作规程》规定幼儿户外活动的时间不得少于()小时。

什么事情已成为你的禁忌？再深入地想一想，你有必要让自己如此的不自由吗？人们有时常常让自己被一些风俗、习惯、禁忌所限制，______。

设二次型f(x1，x2，x1)=x12+x22+x32一2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+6y32，求常数a，b及所用正交变换矩阵Q．

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[2010年]设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内存在二阶导数，且[*]证明存在η∈(0，2)，使f(η)=f(0)；

[2011年]设函数则dz｜1,1=____________．

[2016年]求幂级数的收敛域及和函数．

设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则()

设X1，X2，…，Xn和Y1，Y2，…，Yn是分别取自总体都为正态分布N(μ，σ2)的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为SX2和SY2，则统计量T=(n一1)(SX2+SY2)的方差D(T)=()

设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}=α[，若P{|X|＜x}=α，则x等于()

曲线的渐近线有()

设总体X～N(a，σ2)，Y～N(b，σ2)相互独立，分别从X和Y中各抽取容量为9和10的简单随机样本，记它们的方差为SX2和SY2，并记，则这四个统计量SX2，SY2，S122，SXY2中，方差最小者是()

[2009年]设X1，X2，…，Xn是来自二项分布总体B(n，P)的简单随机样本，[*]和S2分别为样本均值和样本方差．记统计量[*]则E(T)=___________．

若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E｜=_________.

（）完全依赖于零件制造精度的装配方法是完全互换法。

下述各项检查中，哪项代表的意义是不恰当的

男性患儿，12岁，低热37℃左右1个月，并感右股骨中段疼痛伴轻度肿胀。血色素11g/L，血沉55mm/h。X线检查示股骨中段溶骨性破坏呈梭形影，伴轻度成骨。外有明显骨膜反应，软组织内未见肿块。最佳的治疗方案是

下列人员中，不能以本人或者他人名义从事期货交易的有()。

下列事项中，必须经有限责任公司股东会决议并经代表2／3以上表决权的股东通过的是()。

《幼儿园工作规程》规定幼儿户外活动的时间不得少于()小时。

什么事情已成为你的禁忌？再深入地想一想，你有必要让自己如此的不自由吗？人们有时常常让自己被一些风俗、习惯、禁忌所限制，______。

[2009年]设X1，X2，…，Xn是来自二项分布总体B(n，P)的简单随机样本，[]和S2分别为样本均值和样本方差．记统计量[]则E(T)=___________．