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设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n.
设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n.
admin
2019-12-26
45
问题
设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵,证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n.
选项
答案
设r(A)=r,所以存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使 [*] 将矩阵Q
-1
B分块为 [*] 其中,B
1
是r×p矩阵,B
2
是(n-r)×p矩阵,由于 [*] 所以 [*] 又 [*] 故 r(AB)≥r(A)+r(B)-n. 注:当AB=D时,有 r(A)+r(B)≤n. 这也是矩阵求秩的一个基本公式.
解析
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考研数学三
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