求证f（x）=πx（1一x）cosπx一（1—2x）sinπx＞0当x∈时成立．

admin2019-07-10 28

问题求证f（x）=πx（1一x）cosπx一（1—2x）sinπx＞0当x∈

时成立．

选项

答案注意f(x)在[*]上连续，且[*] 先求f’(x)=一π²x(1一x)sinπx+π(1—2x)cosπx一π(1—2x)cosπx+2sinπx=[2一π²x(1一x)][*] 其中g(x)=2一π²x(1一x)．显然，f’(x)的正负号取决于g(x)的正负号，用单调性方法判断g(x)的符号．由于 g’(x)=一π²(1—2x)＜0 [*] 故g(x)在[*]单调下降，又因g(0)=2， [*] 从而存在唯一的x₀∈[*]使g(x₀)=0．又由 [*] 从而f(x)＞f(0)=0(0＜x≤x₀)，f(x)＞[*]故f(x)＞0 [*]

解析

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考研数学三

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