2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

(1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．

admin2018-04-15  73
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，|λE—A|=|λE一B|且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
    (2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B．
选项
答案(1)因为|λE—A|=|λE—B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，P2，使得 [*] 由P1-1AP1=P2-1BP2得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 取P1P2-1=P，则P-1AP=B，即A～B． (2)由[*]得 A的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1； 由[*]得 B的特征值为λ1=2，λ2=λ3=1； 由[*]得r(E—A)=1，即A可相似对角化； 再由[*]得r(E一B)=1，即B可相似对角化， 故A～B． 由[*]得A的属于λ1=2的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 A的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*] 由[*]得B的属于λ1=2的线性无关特征向量为[*] 由[*]得 B的属于λ2=λ3=1的线性无关的特征向量为[*] 令[*] 再令[*]则P-1AP=B．
解析
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考研数学三

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