设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

admin2021-03-10 103

问题设α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，又β≠0且α₁，α₂，α₃，β线性相关，
令

(Ⅰ)证明：β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，所以α₁，α₂，α₃线性无关，又因为α₁，α₂，α₃，β线性相关，令β＝k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝l₁α₁＋l₂α₂＋l₃α₃，得(k₁－l₁)α₁＋(k₂－l₂)α₂＋(k₃－l₃)α₃＝0，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以k₁－l₁＝0，k₂－l₂＝0，k₃－l₃＝0，即k₁＝l₁，k₂＝l₂，k₃－l₃，所以β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示． (Ⅱ)设β＝k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃，即β＝(α₁，α₂，α₃)[*](其中k₁，k₂，k₃唯一)。则Aβ＝（α₁，α₂，α₃）[*] 因为α₁，α₂，α₃两两正交且为单位向量，所以[*](α₁，α₂，α₃)＝E，从而Aβ＝（α₁，α₂，α₃）[*] 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

考研数学二

求微分方程xlnxdy+(y一lnx)dx=0满足条件y|x=c1=1的特解．

设求函数F(x)＝∫－1xf(t)dt的表达式．

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3．(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

(97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

计算二重积分，其中积分区域D={(x，y)｜0≤x2≤y≤x≤1}．

二次积分f(x，y)dy写成另一种次序的积分是()

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为()

设f(χ)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的χ，y∈[a，b]，有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜k．(1)证明：当k＞0时，f(χ)在[a，b]上连续；(2)证明：当k＞1时，f(χ)≡常数．

我国的基准汇率有()

中华民族伟大复兴的中国梦，包含着丰富的思想内涵。其中，作为根本出发点和落脚点的是()。

关于放置宫内节育器错误的是

关于提单的法律特征，以下表述错误的有()。

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如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3．(Ⅰ)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

(97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

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