2. 考研
  3. 设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

admin2021-03-10  48
问题 设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，
令
(Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．
选项
答案(Ⅰ)因为α1，α2，α3为两两正交的单位向量，所以α1，α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3，β线性相关，令β＝k1α1＋k2α2＋k3α3＝l1α1＋l2α2＋l3α3， 得(k1－l1)α1＋(k2－l2)α2＋(k3－l3)α3＝0， 因为α1，α2，α3线性无关，所以k1－l1＝0，k2－l2＝0，k3－l3＝0，即k1＝l1，k2＝l2，k3－l3， 所以β可由α1，α2，α3唯一线性表示． (Ⅱ)设β＝k1α1＋k2α2＋k3α3，即β＝(α1，α2，α3)[*](其中k1，k2，k3唯一)。 则Aβ＝（α1，α2，α3）[*] 因为α1，α2，α3两两正交且为单位向量，所以[*](α1，α2，α3)＝E， 从而Aβ＝（α1，α2，α3）[*] 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．
解析
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考研数学二

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