2. 考研
  3. (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是

(1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关； (2)设A，B为n阶方阵，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是

admin2020-03-16  31
问题 (1)设λ1，λ2，…，λn是n阶矩阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
    (2)设A，B为n阶方阵，B≠0，若方程|A一λB|=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是方程组(A—λiB)x=0的非零解，i=1，2，…，n．证明α1，α2，…，αn线性无关．
选项
答案(1)用数学归纳法． ①由于特征向量α1≠0，故α1线性无关； ②假设前k一1个向量α1，α2，…，αk-1线性无关，以下证明α1，α2，…，αk线性无关．k个互异特征 值λ1，λ2，…，λk对应着特征向量α1，α2，…，αk现设存在一组数ι1，ι2，…，ιk，使得 ι1α1+ι2α2+…+ιkαk=0． (*) 在(*)式两端左边乘A，有ι1Aα1+ι2Aα2+…+ιkAαk=0，即 ι1λ1α1+ι2λ2α2+…+ιkλkαk=0； (**) 又在(*)式两端同时乘λk，有ι1λkα1+ι2λkα2+…+ιkλkαk=0． (***) 用(**)式减去(***)式，得 ι1(λ1一λk)α1+ι2(λ2—λk)α2+…+ιk-1(λk-1一λk)αk-1=0． 由归纳假设α1，α2，…，αk-1线性无关，故 ι1(λ1—λk)=ι2(λ2一λk)=…=ιk-1(λk-1一λk)=0， 又λi—λk≠0(i=1，2，…，k一1)，故ι1=ι2=…=ιk-1=0． 代回(*)式，于是ιkαk=0，由α≠0，有ιk=0，于是α1，α2，…，αk线性无关，即A的n个互异特征值对应的特征向量α1，α2，…，αn线性无关．证毕． (2)由|B|≠0，在|A一λB|=0两边乘|B-1|，有 |B-1A一λE|=0，即|λE一B-1A|=0， 于是λ1，λ2，…，λn是矩阵B-1A的n个互异特征值． 又由(A—λiB)x=0，两端左边乘B-1，有(B-1A—λiE)x=0，即(λiE—B-1A)x=0，故α1，α2，…，αn为B-1A的对应于λ1，λ2，…，λn的特征向量，由(1)知，α1，α2，…，αn线性无关．
解析
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考研数学二

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