首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是
(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是
admin
2020-03-16
71
问题
(1)设λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是n阶矩阵A的互异特征值,α
1
,α
2
,…,α
n
是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
(2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异,α
i
分别是方程组(A—λ
i
B)x=0的非零解,i=1,2,…,n.证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
选项
答案
(1)用数学归纳法. ①由于特征向量α
1
≠0,故α
1
线性无关; ②假设前k一1个向量α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,以下证明α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关.k个互异特征 值λ
1
,λ
2
,…,λ
k
对应着特征向量α
1
,α
2
,…,α
k
现设存在一组数ι
1
,ι
2
,…,ι
k
,使得 ι
1
α
1
+ι
2
α
2
+…+ι
k
α
k
=0. (*) 在(*)式两端左边乘A,有ι
1
Aα
1
+ι
2
Aα
2
+…+ι
k
Aα
k
=0,即 ι
1
λ
1
α
1
+ι
2
λ
2
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0; (**) 又在(*)式两端同时乘λ
k
,有ι
1
λ
k
α
1
+ι
2
λ
k
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0. (***) 用(**)式减去(***)式,得 ι
1
(λ
1
一λ
k
)α
1
+ι
2
(λ
2
—λ
k
)α
2
+…+ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)α
k-1
=0. 由归纳假设α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,故 ι
1
(λ
1
—λ
k
)=ι
2
(λ
2
一λ
k
)=…=ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)=0, 又λ
i
—λ
k
≠0(i=1,2,…,k一1),故ι
1
=ι
2
=…=ι
k-1
=0. 代回(*)式,于是ι
k
α
k
=0,由α≠0,有ι
k
=0,于是α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关,即A的n个互异特征值对应的特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.证毕. (2)由|B|≠0,在|A一λB|=0两边乘|B
-1
|,有 |B
-1
A一λE|=0,即|λE一B
-1
A|=0, 于是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是矩阵B
-1
A的n个互异特征值. 又由(A—λ
i
B)x=0,两端左边乘B
-1
,有(B
-1
A—λ
i
E)x=0,即(λ
i
E—B
-1
A)x=0,故α
1
,α
2
,…,α
n
为B
-1
A的对应于λ
1
,λ
2
,…,λ
n
的特征向量,由(1)知,α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OKA4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
[2005年]∫01=__________.
(2006年试题,一)广义积分
设f(x)是区间上的单调、可导函数,且满足,其中f-1是f的反函数,求f(x).
求下列极限:
设当实数a为何值时,方程组Ax=b有无穷多解,并求其通解。
设D={(x,y)|x2+y2≤,x≥0,y≥0,[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy。[img][/img]
设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小.
已知A是三阶实对称矩阵,满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)。
为清除井底的污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(如图1—3—5所示)。已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N.抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉。现将抓起污泥的抓斗提
设χ3-3χy+y3=3确定隐函数y=y(χ),求y=y(χ)的极值.
随机试题
关于八七会议的叙述,正确的是()
VDT作业的职业性有害因素包括
患者,男,38岁,上午突然出现壮热口渴,头痛烦躁,随之昏迷,腹痛,里急后重,饮食乏味,中脘饱闷,头身重困,舌质淡,苔白腻,脉濡缓。证属
治疗风寒泻的首选方剂是
下列有关专利纠纷案件管辖的说法中.正确的是:()
设计和施工的分离,导致了许多问题。下列描述有误的是()。
(2017·内蒙古)新教师更多关注课堂中的细节,专家型教师很少谈论课堂管理问题和自己的教学是否成功。这是反映二者在()方面的差异。(易错)
Companieshaveembarkedonwhatlookslikethebeginningsofare-runofthemergersandacquisitions(M&A)wavethatdefinedth
如果某一个文件的物理结构采用的是uNIX的三级索引结构,如图所示。假设一个物理块可以存放128个块号,要查找块号为15000的物理块,需要用哪一级索引表?
Whatisthepurposeoftheannouncement?
最新回复
(
0
)