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(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是
(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是
admin
2020-03-16
47
问题
(1)设λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是n阶矩阵A的互异特征值,α
1
,α
2
,…,α
n
是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
(2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ
1
,λ
2
,…,λ
n
互异,α
i
分别是方程组(A—λ
i
B)x=0的非零解,i=1,2,…,n.证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
选项
答案
(1)用数学归纳法. ①由于特征向量α
1
≠0,故α
1
线性无关; ②假设前k一1个向量α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,以下证明α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关.k个互异特征 值λ
1
,λ
2
,…,λ
k
对应着特征向量α
1
,α
2
,…,α
k
现设存在一组数ι
1
,ι
2
,…,ι
k
,使得 ι
1
α
1
+ι
2
α
2
+…+ι
k
α
k
=0. (*) 在(*)式两端左边乘A,有ι
1
Aα
1
+ι
2
Aα
2
+…+ι
k
Aα
k
=0,即 ι
1
λ
1
α
1
+ι
2
λ
2
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0; (**) 又在(*)式两端同时乘λ
k
,有ι
1
λ
k
α
1
+ι
2
λ
k
α
2
+…+ι
k
λ
k
α
k
=0. (***) 用(**)式减去(***)式,得 ι
1
(λ
1
一λ
k
)α
1
+ι
2
(λ
2
—λ
k
)α
2
+…+ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)α
k-1
=0. 由归纳假设α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,故 ι
1
(λ
1
—λ
k
)=ι
2
(λ
2
一λ
k
)=…=ι
k-1
(λ
k-1
一λ
k
)=0, 又λ
i
—λ
k
≠0(i=1,2,…,k一1),故ι
1
=ι
2
=…=ι
k-1
=0. 代回(*)式,于是ι
k
α
k
=0,由α≠0,有ι
k
=0,于是α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关,即A的n个互异特征值对应的特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.证毕. (2)由|B|≠0,在|A一λB|=0两边乘|B
-1
|,有 |B
-1
A一λE|=0,即|λE一B
-1
A|=0, 于是λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是矩阵B
-1
A的n个互异特征值. 又由(A—λ
i
B)x=0,两端左边乘B
-1
,有(B
-1
A—λ
i
E)x=0,即(λ
i
E—B
-1
A)x=0,故α
1
,α
2
,…,α
n
为B
-1
A的对应于λ
1
,λ
2
,…,λ
n
的特征向量,由(1)知,α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
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考研数学二
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