(1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关; (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是

admin2020-03-16  28

问题 (1)设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;
    (2)设A,B为n阶方阵,B≠0,若方程|A一λB|=0的全部根λ1,λ2,…,λn互异,αi分别是方程组(A—λiB)x=0的非零解,i=1,2,…,n.证明α1,α2,…,αn线性无关.

选项

答案(1)用数学归纳法. ①由于特征向量α1≠0,故α1线性无关; ②假设前k一1个向量α1,α2,…,αk-1线性无关,以下证明α1,α2,…,αk线性无关.k个互异特征 值λ1,λ2,…,λk对应着特征向量α1,α2,…,αk现设存在一组数ι1,ι2,…,ιk,使得 ι1α12α2+…+ιkαk=0. (*) 在(*)式两端左边乘A,有ι1122+…+ιkk=0,即 ι1λ1α12λ2α2+…+ιkλkαk=0; (**) 又在(*)式两端同时乘λk,有ι1λkα12λkα2+…+ιkλkαk=0. (***) 用(**)式减去(***)式,得 ι11一λk122—λk2+…+ιk-1k-1一λkk-1=0. 由归纳假设α1,α2,…,αk-1线性无关,故 ι11—λk)=ι22一λk)=…=ιk-1k-1一λk)=0, 又λi—λk≠0(i=1,2,…,k一1),故ι12=…=ιk-1=0. 代回(*)式,于是ιkαk=0,由α≠0,有ιk=0,于是α1,α2,…,αk线性无关,即A的n个互异特征值对应的特征向量α1,α2,…,αn线性无关.证毕. (2)由|B|≠0,在|A一λB|=0两边乘|B-1|,有 |B-1A一λE|=0,即|λE一B-1A|=0, 于是λ1,λ2,…,λn是矩阵B-1A的n个互异特征值. 又由(A—λiB)x=0,两端左边乘B-1,有(B-1A—λiE)x=0,即(λiE—B-1A)x=0,故α1,α2,…,αn为B-1A的对应于λ1,λ2,…,λn的特征向量,由(1)知,α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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