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  3. 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于A。的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A．

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于A。的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A．

admin2018-11-22  51
问题 设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，对应于A。的特征向量为ξ1=(0，1，1)T，求A．
选项
答案对应于λ2=2=λ3=1有两个线性无关的特征向量ξ2，ξ3，它们都与ξ1正交，故可取 [*]
解析 本题考查实对称矩阵的性质、齐次线性方程组的基础解系的求法及方阵对角化的应用.现再对几个有关问题加以说明：
    (1)关于属于λ2=2=λ3=1的特征向量的求法：设

为属于λ2=2=λ3=1的特征向量，则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质，有ξ1⊥X，即0x1+x2+x3=0，其系数矩阵为[0  1  1]，它的秩为1，因此对应齐次线性方程含1个约束未知量，若取x2为约束未知量，则余下来的未知量x1和x2就是自由未知量，分别令x1=1，x3=0和x1=0，x3=一1，代入由自由未知量表示的通解x2=0x1一x3，即得基础解系；

ξ2和ξ3就是属于λ2=λ3=1的线性无关特征向量．不少考生由方程x2+x3=0只能求到一个非零解，常常求不出ξ1，其原因就在于没有掌握上述“先选取约束未知量，从而选取自由未知量，进而求出基础解系”的方法．
    (2)如果令矩阵P=[ξ1  ξ2  ξ3]，则P可逆(但不是正交阵)，使P—1AP=D，于是可由A=PDP—1解出A来，但需要求一个逆矩阵，因此不如题解中的解法简单．
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