(2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

admin2014-08-18 70

问题 (2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax一2A²x．
记P=(x，Ax，A²x)，求3阶矩阵B，使A=PBP^-1；

选项

答案解法1依题设，A(x，Ax，A²x)=(Ax，A²x，A³x)=(Ax，A²x，3Ax一2A²x)[*]即得[*]因P=(x，Ax，A²x)可逆，故得[*] 解法2由A³x=3Ax一2A²x知，A(A²x+3Ax)=A²x+3Ax，故A有特征值1，同理得其有三个不同的特征值1,一3，0，也就有三个线性无关的特征向量，不难看出依次为：A²x+3Ax，A²x—Ax，A²x+2Ax一3x令Q=(A²x+3Ax，A²x—Ax，A²x+2Ax一3x)，则有[*]故A=QAQ^-1=PCAC^-1P^-1．从而B=CAC^-1[*] 解法3设[*]则由AP=PB得：[*]即[*]从而[*]因为x，Ax，A²x线性无关，故可得a₁=a₂=a₃=b₂=c₁=0，b₁=c₂=1，b₃=3，c₃=一2，即得[*] 解法4因为P=(x，Ax，A²x)可逆，所以P^-1P=E，即P^-1(x，Ax，A²x)=E．进而有[*]故B=P^-1AP=P^-1(Ax．A²x，A²x)=P^-1(Ax，A²x，3Ax一2A²x)=(P^-1Ax，P^-1A²x，3P^-1Ax一2P^-1A²x)[*]

解析

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考研数学一

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(2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

考研数学一

求极限.

设f(x)的导数在x=0处连续，且=3,则x=0()。

设x=f(t)cost－f’(t)sint,y=f(t)sint+f’(t)cost,f"(t)存在，证明：（dx)2+(dy)2=[f(t)+f"(t)]2(dt)2.

设y=,求y"｜x=0.

已知可微函数y=y(x)由方程y=－yex+2eysinx－7x所确定，求y"(0).

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，已知f(1)=0，求∫12f(x)dx．

证明不等式.

设a1=[1，0，-1，2]T，a2=[2，-1，-2，6]T，a3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，-5，10]T，已知β不能由a1，a2，a3线性表出，则t=________．

对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是________．

设向量组α1=[2，0，1，1]，α2=[-1，-1，-1，-1]，α3=[1，-1，0，0]，α4=[0，-2，-1，-1]，判断该向量组是否线性相关，若相关，找出一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大线性无关组线性表示．

婴儿出现()，如出血位置无法压迫，可让婴儿躺下，用拳头或手掌根部把出血的血管压向对侧的骨头方向。

常见的肛周脓肿是

治疗阴虚内热型内伤发热的首选方剂是

可能的诊断是若需要应采取的正确预防措施是

典型欠阻尼二阶系统超调量大于5％，则其阻尼ξ的范围为()。

从各国保险立法来看,关于投保人或被保险人的告知方式一般分为以下两种,即()。

Manystudentsfindtheexperienceofattendinguniversitylecturestobeareallyconfusingand【C1】______experience.Thelecture

Ithasbeenproventhatshortburstsofconcentrationrepeatedfrequentlyaremuchmore【B1】______thanonelongperiod.So,even

(2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x． 记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

考研数学一

求极限.

设f(x)的导数在x=0处连续，且=3,则x=0()。

设x=f(t)cost－f’(t)sint,y=f(t)sint+f’(t)cost,f"(t)存在，证明：（dx)2+(dy)2=[f(t)+f"(t)]2(dt)2.

设y=,求y"｜x=0.

已知可微函数y=y(x)由方程y=－yex+2eysinx－7x所确定，求y"(0).

设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，已知f(1)=0，求∫12f(x)dx．

证明不等式.

设a1=[1，0，-1，2]T，a2=[2，-1，-2，6]T，a3=[3，1，t，4]T，β=[4，-1，-5，10]T，已知β不能由a1，a2，a3线性表出，则t=________．

对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是________．

设向量组α1=[2，0，1，1]，α2=[-1，-1，-1，-1]，α3=[1，-1，0，0]，α4=[0，-2，-1，-1]，判断该向量组是否线性相关，若相关，找出一个极大线性无关组，并将其余向量由该极大线性无关组线性表示．

婴儿出现()，如出血位置无法压迫，可让婴儿躺下，用拳头或手掌根部把出血的血管压向对侧的骨头方向。

常见的肛周脓肿是

治疗阴虚内热型内伤发热的首选方剂是

可能的诊断是若需要应采取的正确预防措施是

典型欠阻尼二阶系统超调量大于5％，则其阻尼ξ的范围为()。

从各国保险立法来看,关于投保人或被保险人的告知方式一般分为以下两种,即()。

Manystudentsfindtheexperienceofattendinguniversitylecturestobeareallyconfusingand【C1】______experience.Thelecture

Ithasbeenproventhatshortburstsofconcentrationrepeatedfrequentlyaremuchmore【B1】______thanonelongperiod.So,even

(2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；