(2001年试题,十)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x. 记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1;

admin2014-08-18  39

问题 (2001年试题,十)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x.
记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1

选项

答案解法1依题设,A(x,Ax,A2x)=(Ax,A2x,A3x)=(Ax,A2x,3Ax一2A2x)[*]即得[*]因P=(x,Ax,A2x)可逆,故得[*] 解法2由A3x=3Ax一2A2x知,A(A2x+3Ax)=A2x+3Ax,故A有特征值1,同理得其有三个不同的特征值1,一3,0,也就有三个线性无关的特征向量,不难看出依次为:A2x+3Ax,A2x—Ax,A2x+2Ax一3x令Q=(A2x+3Ax,A2x—Ax,A2x+2Ax一3x),则有[*]故A=QAQ-1=PCAC-1P-1.从而B=CAC-1[*] 解法3设[*]则由AP=PB得:[*]即[*]从而[*]因为x,Ax,A2x线性无关,故可得a1=a2=a3=b2=c1=0,b1=c2=1,b3=3,c3=一2,即得[*] 解法4因为P=(x,Ax,A2x)可逆,所以P-1P=E,即P-1(x,Ax,A2x)=E.进而有[*]故B=P-1AP=P-1(Ax.A2x,A2x)=P-1(Ax,A2x,3Ax一2A2x)=(P-1Ax,P-1A2x,3P-1Ax一2P-1A2x)[*]

解析
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