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  3. (2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x． 记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

(2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x． 记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

admin2014-08-18  74
问题 (2001年试题，十)已知3阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x．
记P=(x，Ax，A2x)，求3阶矩阵B，使A=PBP-1；
选项
答案解法1依题设，A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax一2A2x)[*]即得[*]因P=(x，Ax，A2x)可逆，故得[*] 解法2由A3x=3Ax一2A2x知，A(A2x+3Ax)=A2x+3Ax，故A有特征值1，同理得其有三个不同的特征值1,一3，0，也就有三个线性无关的特征向量，不难看出依次为：A2x+3Ax，A2x—Ax，A2x+2Ax一3x令Q=(A2x+3Ax，A2x—Ax，A2x+2Ax一3x)，则有[*]故A=QAQ-1=PCAC-1P-1．从而B=CAC-1[*] 解法3设[*]则由AP=PB得：[*]即[*]从而[*]因为x，Ax，A2x线性无关，故可得a1=a2=a3=b2=c1=0，b1=c2=1，b3=3，c3=一2，即得[*] 解法4因为P=(x，Ax，A2x)可逆，所以P-1P=E，即P-1(x，Ax，A2x)=E．进而有[*]故B=P-1AP=P-1(Ax．A2x，A2x)=P-1(Ax，A2x，3Ax一2A2x)=(P-1Ax，P-1A2x，3P-1Ax一2P-1A2x)[*]
解析
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考研数学一

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