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(2001年试题,十)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x. 记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1;
(2001年试题,十)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x=3Ax一2A2x. 记P=(x,Ax,A2x),求3阶矩阵B,使A=PBP-1;
admin
2014-08-18
64
问题
(2001年试题,十)已知3阶矩阵A与三维向量x,使得向量组x,Ax,A
2
x线性无关,且满足A
3
x=3Ax一2A
2
x.
记P=(x,Ax,A
2
x),求3阶矩阵B,使A=PBP
-1
;
选项
答案
解法1依题设,A(x,Ax,A
2
x)=(Ax,A
2
x,A
3
x)=(Ax,A
2
x,3Ax一2A
2
x)[*]即得[*]因P=(x,Ax,A
2
x)可逆,故得[*] 解法2由A
3
x=3Ax一2A
2
x知,A(A
2
x+3Ax)=A
2
x+3Ax,故A有特征值1,同理得其有三个不同的特征值1,一3,0,也就有三个线性无关的特征向量,不难看出依次为:A
2
x+3Ax,A
2
x—Ax,A
2
x+2Ax一3x令Q=(A
2
x+3Ax,A
2
x—Ax,A
2
x+2Ax一3x),则有[*]故A=QAQ
-1
=PCAC
-1
P
-1
.从而B=CAC
-1
[*] 解法3设[*]则由AP=PB得:[*]即[*]从而[*]因为x,Ax,A
2
x线性无关,故可得a
1
=a
2
=a
3
=b
2
=c
1
=0,b
1
=c
2
=1,b
3
=3,c
3
=一2,即得[*] 解法4因为P=(x,Ax,A
2
x)可逆,所以P
-1
P=E,即P
-1
(x,Ax,A
2
x)=E.进而有[*]故B=P
-1
AP=P
-1
(Ax.A
2
x,A
2
x)=P
-1
(Ax,A
2
x,3Ax一2A
2
x)=(P
-1
Ax,P
-1
A
2
x,3P
-1
Ax一2P
-1
A
2
x)[*]
解析
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考研数学一
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