设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫0xf(t)dt,则下列命题中错误的是( )。

admin2019-12-23  20

问题 设f(x)在(-∞,+∞)上连续,F(x)=∫0xf(t)dt,则下列命题中错误的是(     )。

选项 A、若f(x)是偶函数,则F(x)是奇函数
B、若f(x)是奇函数,则F(x)是偶函数
C、若f(x)以T为周期且是偶函数,则F(x)以T为周期且是奇函数
D、若f(x)以T为周期且是奇函数,则F(x)以T为周期且是偶函数

答案C

解析 [解题思路]  利用∫0xf(t)dt的性质判定。
    解  利用∫0xf(t)dt的性质知,(A)、(B)均正确,而(C)错误。例如,f(x)≡1是以T为周期的偶函数,但F(x)=∫0x1dt=x不是周期函数,但(D)是正确的。
    我们知道,若f(x)是以T为周期,则其原函数F(x)=∫0xf(t)dt也是以T为周期的充要条件是∫0Tf(x)dx=0。
当f(x)以T为周期且是奇函数时,有

因而F(x)=∫0xf(t)dt以T为周期且是偶函数,仅(C)入选。
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