设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=_______.

admin2018-07-26  36

问题 设A=(aij)是3阶非零矩阵,|A|为A的行列式,Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i,j=1,2,3),则|A|=_______.

选项

答案-1.

解析 由A≠O,不妨设a11≠0,由已知的Aij=-aij(i,j=1,2,3),得

及A=-(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵.以下有两种方法:
方法1:用AT右乘A=-(A*)T的两端,得
AAT=-(A*)AT=-(AA*)T=-(|A|I)T
其中I为3阶单位矩阵,上式两端取行列式,得
|A|2=(-1)3|A|3,或|A|2(1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=-1.
方法2:从A=-(A*)T两端取行列式,并利用|A*|=|A|2,得
|A|=(-1)3|A*|=-|A|2,或|A|(1+|A|)=0,
因|A|≠0,所以|A|=-1.
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