2. 考研
  3. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_______．

设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_______．

admin2018-07-26  38
问题 设A=(aij)是3阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=_______．
选项
答案－1．
解析 由A≠O，不妨设a11≠0，由已知的Aij=－aij(i，j=1，2，3)，得

及A=－(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
方法1：用AT右乘A=－(A*)T的两端，得
AAT=－(A*)AT=－(AA*)T=－(|A|I)T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
|A|2=(－1)3|A|3，或|A|2(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=－1．
方法2：从A=－(A*)T两端取行列式，并利用|A*|=|A|2，得
|A|=(－1)3|A*|=－|A|2，或|A|(1+|A|)=0，
因|A|≠0，所以|A|=－1．
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考研数学三

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