2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．

设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 ∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．

admin2017-12-31  85
问题 设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得
∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．
选项
答案令F(x)＝∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0＝[*]，由泰勒公式得 F(a)＝F(x0)＋F’(x0)(a－x0)[*](a－x0)3，ξ1∈(a,x0)， F(b)＝F(x0)＋F’(x0)(b－x0)[*](b－x0)3，ξ2∈(x0,b)， 两式相减得F(b)－F(a)＝F’(x0)(b－a)＋[*][F’’’(ξ1)＋F’’’(ξ2)]，即 ∫abf(x)dx＝(b－a)f[*][f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]， 因为f’’(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ，ξ2][*](a，b)，使得 f’’(ξ)＝[*][f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]，从而 ∫abf(x)dx＝(b－a)[*]．
解析
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考研数学三

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