首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0. 求函数y(x)的表达式.
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0. 求函数y(x)的表达式.
admin
2021-01-19
58
问题
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0.
求函数y(x)的表达式.
选项
答案
当-π<x<0时,设(x,y)为曲线上任意一点,由导数几何意义,法线斜率为 [*].由题意知法线斜率又为[*], 即 ydy=-xdx, 两边积分得 y
2
=-x
2
+C. 由初始条件[*],得C=π
2
,[*](-π<x<0) 当0≤x<π时,有y"+y+x=0. 首先,易得y"+y=0的通解为y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx,其次,令y"+y+x=0的特解为y
1
=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=-1,B=0,y
1
=-x,因而y"+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx-x. 由于y=y(x)是(-π,π)内的光滑曲线,故y(x)在x=0处连续而且可导.于是, [*] 将上述条件代入y"+y+x=0的通解可得C
1
=π,C
2
=1,故 y=πcosx+sinx-x(0≤x<π). 所以y=y(x)的表达式为[*]。
解析
[分析]本题考查导数的几何意义、微分方程求解和函数连续性,是一个比较综合的问题.在区间(-π,0)内,根据已知条件建立微分方程求解,在区间[0,π)上求解二阶常系数非齐次线性微分方程,并且根据曲线光滑条件确定任意常数.
[评注1]在区间[a,b]上的光滑曲线y=f(x)指的是函数f(x)在区间[a,b]上有一阶连续导数.
[评注2]在区间(-π,0)内的微分方程也可如下得到:曲线上任意一点(x,y)的法线方程为
,又法线都过原点,即X=0,Y=0,代入即得微分方程yy’=-x.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OV84777K
0
考研数学二
相关试题推荐
设函数f(u)具有连续导数,且方程x一z=yf(z2一x2)确定隐函数z=z(x,y),则
函数y=的麦克劳林公式中x4项的系数是__________.
下列二元函数在点(0,0)处可微的是
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足λ∈(0,1)为常数.求证:在(0,1)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)=一f(ξ)/ξ.
设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值,则下列结论正确的是().
当陨石穿过大气层向地面高速坠落时,陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发,实验证明,陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比,现有一陨石是质量均匀的球体,且在坠落过程中始终保持球状,若它在进入大气层开始燃烧的前3s内,减少了体积的7/
一子弹穿透某铁板,已知入射子弹的速度为v0,穿出铁板时的速度为v1,以子弹入射铁板时为起始时间,又知穿透铁板的时间为t1.子弹在铁板内的阻力与速度平方成正比,比例系数k>0.(Ⅰ)求子弹在铁板内的运动速度v与时间t的函数关系v=v(t);
设f〞(χ)∈C[a,b],证明:存在ξ∈(a,b),使得∫abf(χ)dχ-(b-a)f〞(ξ).
令f(x)=x-[x],求极限
随机试题
青少年好发的肿瘤为()。
Farmersareallowedtogrowsmallgardensoftheirownandtheyselltheirvegetables______theblackmarket.
如果取精液检查,应在检查前至少几天内不排精。
华支睾吸虫对人的危害主要是
关于胰岛素治疗,下列不妥的是下列哪一部位不可注射胰岛素
治疗成人呼吸窘迫综合征最有效的措施为()
《中华人民共和国广告法》规定,药品、医疗器械广告不得有的内容是()
设齐次线性方程组当方程组有非零解时,k值为:
某工业企业仅生产甲产品,采用品种法计算产品成本。3月初在产品直接材料成本130万元,直接人工成本18万元,制造费用10万元。3月份发生直接材料成本80万元,直接人工成本4871元,制造费用6万元。3月末甲产品完工100件,在产品200件。月末计算完工产品成
Translatingisacomplexandfascinatingtask.Infact,A.Richardshasclaimedthatitisprobablythemostcomplextypeofeve
最新回复
(
0
)