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设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0. 求函数y(x)的表达式.
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0. 求函数y(x)的表达式.
admin
2021-01-19
56
问题
设y=y(x)是区间(-π,π)内过点[2046*]的光滑曲线.当-π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点;当0≤x<π时,函数y(x)满足y"+y+x=0.
求函数y(x)的表达式.
选项
答案
当-π<x<0时,设(x,y)为曲线上任意一点,由导数几何意义,法线斜率为 [*].由题意知法线斜率又为[*], 即 ydy=-xdx, 两边积分得 y
2
=-x
2
+C. 由初始条件[*],得C=π
2
,[*](-π<x<0) 当0≤x<π时,有y"+y+x=0. 首先,易得y"+y=0的通解为y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx,其次,令y"+y+x=0的特解为y
1
=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=-1,B=0,y
1
=-x,因而y"+y+x=0的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx-x. 由于y=y(x)是(-π,π)内的光滑曲线,故y(x)在x=0处连续而且可导.于是, [*] 将上述条件代入y"+y+x=0的通解可得C
1
=π,C
2
=1,故 y=πcosx+sinx-x(0≤x<π). 所以y=y(x)的表达式为[*]。
解析
[分析]本题考查导数的几何意义、微分方程求解和函数连续性,是一个比较综合的问题.在区间(-π,0)内,根据已知条件建立微分方程求解,在区间[0,π)上求解二阶常系数非齐次线性微分方程,并且根据曲线光滑条件确定任意常数.
[评注1]在区间[a,b]上的光滑曲线y=f(x)指的是函数f(x)在区间[a,b]上有一阶连续导数.
[评注2]在区间(-π,0)内的微分方程也可如下得到:曲线上任意一点(x,y)的法线方程为
,又法线都过原点,即X=0,Y=0,代入即得微分方程yy’=-x.
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