2. 考研
  3. 设y＝y(x)是区间(－π，π)内过点[2046*]的光滑曲线．当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"＋y＋x＝0． 求函数y(x)的表达式．

设y＝y(x)是区间(－π，π)内过点[2046*]的光滑曲线．当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"＋y＋x＝0． 求函数y(x)的表达式．

admin2021-01-19  57
问题 设y＝y(x)是区间(－π，π)内过点[2046*]的光滑曲线．当－π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点；当0≤x＜π时，函数y(x)满足y"＋y＋x＝0．
求函数y(x)的表达式．
选项
答案当－π＜x＜0时，设(x，y)为曲线上任意一点，由导数几何意义，法线斜率为 [*]．由题意知法线斜率又为[*]， 即 ydy＝－xdx， 两边积分得 y2＝－x2＋C． 由初始条件[*]，得C＝π2，[*](－π＜x＜0) 当0≤x＜π时，有y"＋y＋x＝0． 首先，易得y"＋y＝0的通解为y*＝C1cosx＋C2sinx，其次，令y"＋y＋x＝0的特解为y1＝Ax＋B，则有0＋Ax＋B＋x＝0，得A＝－1，B＝0，y1＝－x，因而y"＋y＋x＝0的通解为y＝C1cosx＋C2sinx－x． 由于y＝y(x)是(－π，π)内的光滑曲线，故y(x)在x＝0处连续而且可导．于是， [*] 将上述条件代入y"＋y＋x＝0的通解可得C1＝π，C2＝1，故 y＝πcosx＋sinx－x(0≤x＜π)． 所以y＝y(x)的表达式为[*]。
解析 [分析]本题考查导数的几何意义、微分方程求解和函数连续性，是一个比较综合的问题．在区间(－π，0)内，根据已知条件建立微分方程求解，在区间[0，π)上求解二阶常系数非齐次线性微分方程，并且根据曲线光滑条件确定任意常数．
    [评注1]在区间[a，b]上的光滑曲线y＝f(x)指的是函数f(x)在区间[a，b]上有一阶连续导数．
    [评注2]在区间(－π，0)内的微分方程也可如下得到：曲线上任意一点(x，y)的法线方程为，又法线都过原点，即X＝0，Y＝0，代入即得微分方程yy’＝－x．
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考研数学二

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