设A，B是n阶实对称可逆矩阵．则下列关系错误的是( )

admin2016-04-14 17

问题设A，B是n阶实对称可逆矩阵．则下列关系错误的是( )

选项 A、A，B等价．
B、AB，BA相似．
C、A，B合同．
D、A²，B²合同．

答案C

解析 (A)成立，A，B均是可逆矩阵，均可以通过初等行变换化成单位矩阵，即有可逆矩阵P，Q，使得PA=QB=E，即有Q^－1PA=B，故A

B．(B)成立，取可逆矩阵P=A，则有P^－1(AB)P=A^－1(AB)A=BA．故AB～BA．(D)成立，A，B是实对称可逆矩阵，特征值分别为λ_i，μ_i(i=1，2，…，n)均不为零，A_i²，B_i²的特征值分别为λ_i²＞0，μ_i²＞0，(i=1，2，…，n)A²，B²均是正定矩阵．它们的正惯性指数均为n(负惯性指数为零)．故

由排除法，应选(C)．对于(C)，取

均是可逆的实对称矩阵，但A的正惯性指数为2，B的正惯性指数为1，故A，B不合同．

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考研数学一

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