设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：

admin2022-04-08 51

问题设f(x)在[0，1]上可导，且f(0)=0，0＜f’(x)＜1，证明：

选项

答案令ψ(x)=[*]，ψ(0)=0． ψ’(x)=2f(x)[*]f(t)dt—f³(x)=f(x)[2[*]f(t)dt—f²(x)]．再令h(x)=2[*]f(t)dt—f²(x)，h(0)=0，h’(x)=2f(x)[1一f’(x)]．由f(0)=0，0＜f’(x)＜1得f(x)＞0(0＜x≤1)，则h’(x)=2f(x)[1一f’(x)]＞0(0＜x≤1)，由[*] 得h(x)＞0(0＜x≤1)，从而ψ’(x)＞0(0＜x≤1)，再由[*]得ψ(x)＞0(0＜x≤1)，于是ψ(1)＞0，即[*]

解析

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