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设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:
设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:
admin
2022-04-08
81
问题
设f(x)在[0,1]上可导,且f(0)=0,0<f’(x)<1,证明:
选项
答案
令ψ(x)=[*],ψ(0)=0. ψ’(x)=2f(x)[*]f(t)dt—f
3
(x)=f(x)[2[*]f(t)dt—f
2
(x)]. 再令h(x)=2[*]f(t)dt—f
2
(x),h(0)=0,h’(x)=2f(x)[1一f’(x)]. 由f(0)=0,0<f’(x)<1得f(x)>0(0<x≤1), 则h’(x)=2f(x)[1一f’(x)]>0(0<x≤1), 由[*] 得h(x)>0(0<x≤1),从而ψ’(x)>0(0<x≤1), 再由[*]得ψ(x)>0(0<x≤1), 于是ψ(1)>0,即[*]
解析
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考研数学二
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