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设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,……,Aαn-1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值与特征向量.
设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若 Aα1=α2,Aα2=α3,……,Aαn-1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值与特征向量.
admin
2022-04-07
125
问题
设A是n阶矩阵,α
1
,α
2
,…,α
n
是n维列向量,且α
n
≠0,若
Aα
1
=α
2
,Aα
2
=α
3
,……,Aα
n-1
=α
n
,Aα
n
=0.
(1)证明:α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
(2)求A的特征值与特征向量.
选项
答案
(1)令x
1
α
1
+x
2
α
2
+……+x
n
α
n
=0,则 x
1
Aα
1
+x
2
Aα
2
+……+x
n
Aα
n
=0[*]x
1
α
2
+x
2
α
3
+……+x
n-1
α
n
=0, x
1
Aα
2
+x
2
Aα
3
+……+x
n-1
Aα
n
=0[*]x
1
α
3
+x
2
α
4
+……+x
n-1
α
n
=0, . . . x
1
α
n
=0, 因为α
n
≠0,所以x
1
=0,反推可得x
2
=……=x
n
=0,所以α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关. (2)A(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(α
1
,α
2
,…,α
n
)[*]令P=(α
1
,α
2
,…,α
n
), 则P
-1
AP=[*]λ
1
=……=λ
n
=0, 即A的特征值全为零,又r(A)=n-1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而Aa
n
=0α
n
(α
n
≠0),所以A的全部特征向量为kα
n
(k≠0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/P1R4777K
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考研数学三
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