设f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.

admin2022-10-08 53

问题设f(x)在[0,1]上连续且递减，证明：当0＜λ＜1时，∫₀^λf(x)dx≥λ∫₀¹f(x)dx.

选项

答案∫₀^λf(x)dx－λ∫₀¹f(x)dx =∫₀^λf(x)dx－λ∫₀^λf(x)dx－λ∫_λ¹f(x)dx=(1－λ)∫₀^λf(x)dx－λ∫_λ¹f(x)dx =(1－λ)λf(ξ₁)－λ(1－λ)f(ξ₂)=λ(1－λ)[f(ξ₁)－f(ξ₂)] 其中0≤ξ₁≤λ≤ξ₂≤1，因f(x)递减，则有f(ξ₁)≥f(ξ₂),又λ＞0.1，λ＞0 因此λ(1－λ)[f(ξ₁)－f(ξ₂)]≥0,即原不等式成立。

解析

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