设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明:当0<λ<1时,∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.

admin2022-10-08  33

问题 设f(x)在[0,1]上连续且递减,证明:当0<λ<1时,∫0λf(x)dx≥λ∫01f(x)dx.

选项

答案0λf(x)dx-λ∫01f(x)dx =∫0λf(x)dx-λ∫0λf(x)dx-λ∫λ1f(x)dx=(1-λ)∫0λf(x)dx-λ∫λ1f(x)dx =(1-λ)λf(ξ1)-λ(1-λ)f(ξ2)=λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)] 其中0≤ξ1≤λ≤ξ2≤1,因f(x)递减,则有f(ξ1)≥f(ξ2),又λ>0.1,λ>0 因此λ(1-λ)[f(ξ1)-f(ξ2)]≥0,即原不等式成立。

解析
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